Conservazione di Q dalle equazioni di Maxwell.

[Pigkappa]

Consideriamo una superficie chiusa che racchiude una certa carica interna dipendente dal tempo. Chiamiamo la densità di corrente, che dipende ovviamente dalla posizione e dal tempo.

Allora la conservazione della carica si scrive come:

Dove è il flusso della densità di corrente verso il fuori. Il senso di questa espressione dovreste vederlo facilmente.



1.)Scrivete le equazioni di Maxwell per una superficie chiusa generica, una linea chiusa generica, campi e non costanti, con tutti i termini.

2.)Usate le equazioni di Maxwell per dimostrare la conservazione della carica.

[Pigkappa]

Up!

È un enunciato molto, molto importante.

[modesto]

Tento questo "antico" problema-Pigkappa (che nessuno aveva affrontato) perchè ho studiato in questo periodo un pò di eq. di Maxwell. Sembra che non servano per il test sns tuttavia dovevo affrontare operatori misteriosi (per me) come la divergenza o il rotore. Si deve dimostrare con le eq. di Maxwell che
+ =
dove è una superficie chiusa e è la carica variabile nel tempo in essa contenuta.
Sviluppando il primo addendo, applicando il teorema di Gauss
= ()= () poichè, per il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie chiusa è uguale all'integrale della sua divergenza esteso al volume racchiuso (siccome poi = è possibile allora esprimere il teorema di Gauss in forma differenziale , come prima eq. di Maxwell con densità di carica volumica). Sviluppando invece il secondo addendo, sempre per il teorema della divergenza
=
L'equazione che intuitivamente pare più consona alla tesi da dimostrare, contenendo e , è la quarta,generalizzazione della legge di Ampère sempre in forma differenziale (dedotta sull'Halliday dalla circuitazione di su una linea chiusa cui è appoggiata una che passando fra le armature di un condensatore, introduce la densità di corrente di spostamento accanto a quella materiale)
= + .
Dato che al secondo membro compaiono i vettori e non le loro divergenze, si può inserire l'operatore ad ambo i membri poichè fra l'altro la divergenza di un rotore si annulla: le sei derivate delle sue componenti cartesiane rispetto alle variabili omologhe si annullano due a due. Per cui si annullano anche la divergenza del secondo membro e il suo integrale esteso a . Prescindendo così da si ottiene
+ =
invertendo eventualmente la derivazione rispetto al tempo con quelle previste dall'operatore.
Si è visto che il secondo addendo è proprio mentre il primo, ancora per il teorema della divergenza, si è visto che è il flusso di cioè

Mi sembra che la conservazione possa così essere dimostrata: la variazione della carica dentro nell'unità di tempo è opposta alla intensità di corrente che fuoriesce da .
Se questa dimostrazione è accettabile, dalla prima uguaglianza non verrebbe fuori anche un altro signicato fisico e cioè che la corrente materiale attraverso è opposta a quella di spostamento attraverso la stessa superficie?

[Pigkappa]

Mi pare sia giusto.

Se questa dimostrazione è accettabile, dalla prima uguaglianza non verrebbe fuori anche un altro signicato fisico e cioè che la corrente materiale attraverso è opposta a quella di spostamento attraverso la stessa superficie?

Spiegati meglio; la prima uguaglianza qual è?

Comunque si può fare anche con le equazioni di Maxwell in forma integrale (quelle in cui non compaiono divergenza e rotore), altrimenti non lo avrei postato qua. Mentre le espressioni che usano gli operatori dell'analisi vettoriale non fanno parte del programma per il test SNS, le equazioni di Maxwell in forma integrale ( e le altre) sicuramente dovete saperle, e penso proprio che facciano parte anche del programma del liceo scientifico!

[modesto]

Spiegati meglio; la prima uguaglianza qual è?
In generale quella cosa non penso sia vera.

ok, al solito mi sono espresso male. Volevo dire che, una volta considerata la divergenza del secondo membro della quarta eq. di Maxwell, avevo scritto che
+ =
Ma questa può porsi come
= -
ovvero, mi sembra, la corrente materiale attraverso è opposta a quella di spostamento.

[modesto]

Scusa per questa postilla, così quando potrai rispondere mi chiarirai tutti i dubbi.

Comunque si può fare anche con le equazioni di Maxwell in forma integrale (quelle in cui non compaiono divergenza e rotore), altrimenti non lo avrei postato qua. .. le equazioni di Maxwell in forma integrale ( e le altre) sicuramente dovete saperle, e penso proprio che facciano parte anche del programma del liceo scientifico!

Purtroppo non ho fatto il liceo scientifico. In compenso ho la mamma che detesta la Fisica ma è docente di Analisi...Venendo alla dimostrazione attraverso le eq. in forma integrale, non l'avevo postata perchè arrivava a conclusioni piuttosto azzardate, di cui non ero sicuro e che però ora desidero esporti. Dalla prima eq. sul teorema di Gauss applicata ad si arriva a = cioè alla corrente di spostamento. D'altra parte la corrente materiale che esce/entra in cioè deve uguagliare . Pertanto, considerando la quarta eq. di Maxwell in forma integrale, si deve concludere che la circuitazione di lungo una linea chiusa cui si appoggia deve annullarsi. Viene fuori al solito che la corrente materiale attraverso la superficie è opposta a quella di spostamento.
Conclusione azzardata. Non solo la carica si conserva: la variazione per unità di tempo di uguaglia la carica per unità di tempo (i) che esce/entra nella superficie chiusa. Ma la variazione di carica per unità di tempo genera anche un campo elettrico variabile che costituisce con il suo flusso attraverso una corrente di spostamento, opposta a quella materiale, che rende nulla la circuitazione di cui sopra.
E' sostenibile tutto ciò?

[Pigkappa]

Spiegati meglio; la prima uguaglianza qual è?
In generale quella cosa non penso sia vera.

ok, al solito mi sono espresso male. Volevo dire che, una volta considerata la divergenza del secondo membro della quarta eq. di Maxwell, avevo scritto che
+ =
Ma questa può porsi come
= -
ovvero, mi sembra, la corrente materiale attraverso è opposta a quella di spostamento.

Sì, è corretto.

Pertanto, considerando la quarta eq. di Maxwell in forma integrale, si deve concludere che la circuitazione di lungo una linea chiusa cui si appoggia deve annullarsi.

Qui non ho capito bene cosa stai dicendo. La superficie che hai dovuto considerare per applicare Gauss deve essere una superficie chiusa. Invece, affinchè tu abbia una linea chiusa su cui, come dici tu, "si appoggia" una superficie, è chiaro che la superficie non può essere chiusa.

Il metodo che avevo trovato io per fare il problema con le equazioni in forma integrale era questo.
Facciamo le stesse considerazioni che hai fatto tu su una superficie chiusa . Adesso consideriamo una linea chiusa che stia tutta sul perimetro di ; non possiamo dire che si "appoggia" su questa linea e applicare la quarta equazione di Maxwell, perchè non è così. Tuttavia, la nostra linea chiusa ha diviso idealmente la superficie in due superfici e e queste sì che si appoggiano sulla linea chiusa.
Allora applichiamo la quarta equazione di Maxwell separatamente a e e sommiamo le due equazioni trovate. La parte con la circuitazione di si semplifica perchè la linea è percorsa in verso opposto nei due casi. Alla fine rimane , cioè . Adesso usando la legge di Gauss si trova la tesi.

[modesto]

Credo di essermi chiarito con il tuo aiuto. Il dubbio dell'ultima mail derivava da un "corto circuito" mentale che avevo fatto della dimostrazione Halliday della quarta e che vale la pena che tenti di spiegarti. Considera il filo percorso da corrente ,diretta, poniamo da sinistra a destra, a caricare l'armatura positiva del condensatore e prosegue materialmente dopo quella negativa. Considera la solita spira amperiana attorno al filo e due superfici e : la prima a sinistra che è attraversata dal filo e si appoggia alla spira, la seconda a destra (che avevo citato anche nella prima mail) che si appoggia alla spira e si protende comprendendo l'armatura positiva del condensatore. Siccome una superficie vale l'altra la circuitazione, che nel primo caso è nel secondo non può annullarsi e DEVE valere dove è la corrente di spostamento fra le armature che si dimostra fra l'altro essere uguale ad . Quindi, conclude, in generale la circuitazione deve tener conto di ENTRAMBE e ribadisce, come quarta eq., la nota circuitazione come somma dei due termini. MA NON E' PIU' riferita al caso considerato bensì al caso generale con la sua superficie aperta appoggiata sulla spira amperiana. Io la riferivo invece ancora al caso, complice anche l'identità dei simboli usati, e quindi facevo comparire nella circuitazione il totale delle due superfici. Ecco perchè mi pareva che la circuitazione dovesse annullarsi...

Allora applichiamo la quarta equazione di Maxwell separatamente a e e sommiamo le due equazioni trovate. La parte con la circuitazione di si semplifica perchè la linea è percorsa in verso opposto nei due casi. Alla fine rimane , cioè . Adesso usando la legge di Gauss si trova la tesi.

ok. A parte il fatto che credo sia preferibile considerare, invece che la linea percorsa in senso opposto, il verso delle correnti, che attraversano le due superfici, come opposto in accordo con la regola della mano destra e del pollice suggerita per il teorema di Ampere. In altri termini, usando le tue notazioni, la circuitazione dell'induzione può avere due valori che devono coincidere:
+=
--
da cui poi si deduce la conclusione con il totale che si annulla e che NON E', NO NO, la circuitazione...

[Pigkappa]

Quindi, conclude, in generale la circuitazione deve tener conto di ENTRAMBE e ribadisce, come quarta eq., la nota circuitazione come somma dei due termini. MA NON E' PIU' riferita al caso considerato bensì al caso generale con la sua superficie aperta appoggiata sulla spira amperiana.

Sì, è giusto.

che credo sia preferibile considerare, invece che la linea percorsa in senso opposto, il verso delle correnti, che attraversano le due superfici, come opposto in accordo con la regola della mano destra e del pollice suggerita per il teorema di Ampere

Lo si può fare anche così, volendo. È sostanzialmente la stessa cosa.



Bonus question: se riguardi il procedimento seguito, scopri di aver dimostrato qua che la conservazione della carica si esprime in formule come . Sto indicando con la divergenza di visto che a quanto pare sai cos'è, comunque si può anche continuare a fare tutto in termini di integrali.
Esiste un'equazione simile che descrive la conservazione della massa per un fluido in movimento?

Bonus question molto più difficile: ed esiste un'equazione simile che descrive la conservazione della sua quantità di moto?

[modesto]

Bonus 1: proporrei due metodi, uno più sbrigativo, uno più analitico.
Sia, per analogia con la tua postazione relativa alla carica , la massa di fluido, contenuta a un dato istante nel volume fisso con il contorno superficiale fisso , avente densità ovviamente variabile . Al solito: l'opposto della variazione della massa per unità di tempo deve uguagliare la differenza fra quella uscita e quella entrata nel volume nell'unità di tempo.
L' opposto della variazione della massa per unità di tempo
- = -
I metodo: dovrà uguagliare il flusso di massa attraverso la superficie cioè la massa somma integrale di quelle contenute nel cilindro infinitesimo di base e altezza la componente di normale a cioè = per il teorema della divergenza = . Dall'uguaglianza con l'opposto della variazione della massa, prescindendo da risulta
+ = 0
II metodo: dovrà uguagliare la somma (integrale) delle variazioni di massa infinitesima relative agli infiniti volumi infinitesimi in cui può immaginarsi decomposto il volume . Considerato uno di questi alle coordinate di lati sia = la velocità del fluido in quel punto. Il fluido, che nell'unità di tempo entra nel volumetto attraverso la parete , sarà (), mentre quello che esce dalla parete parallela avente le solite dimensioni sarà +. con una differenza quindi pari a . Sommando anche i contributi delle pareti e si ottiene facilmente
= da cui, siccome si può prescindere ora da , uguagliando all'opposto della variazione di massa si ottiene ancora
+ =0
Non ho dimestichezza con nabla: comunque mi pare di capire che moltiplicandolo per uno scalare se ne ottiene l'opposto del gradiente, scalarmente per un vettore se ne ottiene la div., vettorialmente per un vettore se ne ottiene il rot. Ma per queste cose avrò tempo...