Temperatura in un filo

[Rigel]

Ai capi di un filo di tungsteno, schematizzabile come un lungo cilindro di raggio è applicata una tensione . Il filo è posto in una camera a vuoto, la potenza in esso dissipata è , e la conducibilità termica dei contatti elettrici è trascurabile. Conoscendo la conducibilità elettrica e quella termica del tungsteno (assunte indipendenti dalla temperature), e le costanti universali necessarie, si determinino la temperatura alla superficie e quella sull'asse centrale del filo.

Come problema mi sembra di media difficoltà: trovare la temperatura superficiale è facile, mentre la seconda domanda è più difficile e credo che si debbano usare un bel pò di differenziali

Domanda bonus: Trovare , dove r è la distanza dall'asse del cilindro (per la seconda parte io ho trovato prima e poi , ma magari si fa in un altro modo).

[baratti07]

scusa la mia ignoranza ma mi manca il concetto di conducibilità elettrica.... è il rho della sencoda legge di ohm?
...mentre per conducibilità termica ci dovrei essere.... la resistenza termica è uguale a la lunghezza fratto il prodotto tra conducibilità termica e aria della sezione..del cilindro in questo caso

[Pigkappa]

La conducibilità elettrica dovrebbe essere l'inverso della resistività; di solito si chiama .

[Rigel]

sì la conducibilità è l'inverso della resistività, quindi .
per la conducibilità termica invece si ha la classica equazione sulla conduzione del calore, per cui la potenza che fluisce attraverso una sezione S vale dove x è la direzione perpendicolare a S.

[Incomplete93]

Allora, vista l'incombenza del mio orale di alla Normale - che prevede fisica - stavo bazzicando tra i post vecchi in cerca di qualche problema interessante. Vediamo se Rigel si ricorda di questo problema e mi controlla i risultati - non posto tutta la mia tentata-soluzione perché perderei secoli e secoli con le formule - non sono molto abile nello scriverle - così capisco un po' come sono combinato =)
Per quanto riguarda la temperatura superficiale trovo

Per quanto riguarda la temperatura sull'asse invece

Che ne dite?

P.S: so che il problema è riesumato, però mi serve materiale =D

[Rigel]

sembra giusta, non mi torna dimensionalmente ma forse e` solo una svista (mia o tua non saprei).
in ogni caso posta il procedimento, che i risultati non me li ricordo dopo aver perso i calcoli che avevo fatto xD

[Incomplete93]

Possibile che mi sia mangiato qualcosa mentre lottavo invano contro lil LaTeX, che ancora mi è molto poco familiare XD o magari ho ragionato male comunque tra un po' appena finisco di guardare delle cose cerco il foglio col problema - che sarà nascosto da qualche parte - e in sole 2 ore e 49 minuti dovrei riuscire a scrivere la soluzione per intero XD

[Incomplete93]

Ok allora hai ragione tu, nella soluzione che ho scritto c'è un di troppo =P comunque ora scrivo il mio ragionamento e poi vediamo che ne dite.

Sia la lunghezza del filo cilindrico. La potenza dissipata per effetto Joule dalla corrente che lo attraversa vale , dove è la resistenza del cilindro. Mettendo insieme le formule troviamo
Dal momento in cui la corrente inizia a fluire nel filo, la temperatura del filo inizia a salire fin quando, in condizioni stazionarie, la potenza dissipata per irraggiamento è uguale a quella dispersa per effetto Joule. In questo momento la temperatura del filo rimane stazionaria. Dall'ultima considerazione deduciamo che, detta la temperatura superficiale del filo, vale
e quindi
.
Per quanto riguarda la temeratura interna le cose si fanno un po' più contose XD Allora, consideriamo una superficie cilindrica coassiale con il cavo, a distanza dall'asse. Il flusso Di calore attraverso questa superficie dato dal calore che essa disperde verso l'esterno in quantità proporzionale al gradiente radiale di temperatura deve, in condizioni stazionarie, disperdere il calode prodotto per effetto Joule nella regione di filo interna alla superficie. Poiché il conduttore è uniforme, il vettore densità di corrente è altresì uniforme lungo la sezione del cavo; la frazione di potenza dissipata sotto forma di calore in questa porzione di filo vale . Quindi imponiamo che sia . Allora . Con dei passaggi algebrici, sostituendo troviamo e integrando . Infine, adattando alle condizioni iniziali troviamo . Ne deduciamo infine che vale e che .

Non so se il ragionamento è sbagliato, ma sono sicuro che non scriverò mai più una soluzione per intero quando ci sono un mucchio di formule perché è da matti XD

[Rigel]

Tranquillo non sei impazzito per nulla col latex la soluzione sta bene

[Pigkappa]

ma sono sicuro che non scriverò mai più una soluzione per intero quando ci sono un mucchio di formule perché è da matti XD

Prova ad immaginare come sarà per la tesi...