Fluidi che si introfulano dove non dovrebbero.

andreaandrea · Messaggio da **andreaandrea** » 2 set 2011, 17:11

Ci riprovo.

La prima parte mi sembrava corretta, ditemi pure se mi sbaglio:

andreaandrea ha scritto:Sia $H$ l'altezza dell'intercapedine.
Sia $A(r) = 2 \pi r H$ l'area a distanza $r$ dall'asse del foro che il liquido attraversa.

Per l'equazione di continuità:
$A(r) v(r) = P (r) = 2\pi H v(r) r$
dove $P (r)$ è la portata ed è uguale per ogni $r$

Dato che $P(r)$ è costante, la derivata prima $P'(r)$ è nulla.

$P'(r) = 2\pi H [v'(r)r + v(r)] = 0$

dove $v'(r)$ è la derivata prima di $v(r)$
segue che:

$v'(r) = -\dfrac{v(r)}{r}$

da cui:

$v(r) = \dfrac {k}{r}$ con $k$ costante.

sia $p_2$ la pressione a distanza $R_2$
Sia $p_0$ la pressione atmosferica

confrontiamo ora due casi:
1) a distanza molto grande, o tendente ad infinito, dall'asse del foro il fluido è fermo. esso è sottoposto soltanto alla pressione atmosferica $p_0$ e il livello è alto $h$
perciò, per Bernoulli:

$\rho g h + p_0 = cost$

2) a distanza $R_1$ dall'asse del foro: la velocità di scorrimento è $v_1$ , la pressione a cui è sottoposto il fluido è quella atmosferica: $p_0$
il livello del fluido si può considerare nullo.
perciò, per Bernoulli:

$\rho \dfrac{v_1^2}{2} + p_0 = cost$

eguagliando le due situazioni:

$\rho g h + p_0 = \rho \dfrac{v_1^2}{2} + p_0$

$v_1 = \sqrt{2gh}$

dato che:

$v(r) = \dfrac {k}{r}$ con $k$ costante.

$k = v_1 R_1$

da cui

$v(r) = \dfrac{R_1 \sqrt{2gh}}{r}$

applico ora Bernoulli. Al primo membro scrivo la situazione 1) Al secondo membro scirvo le grandezze a distanza $r<R_2$
a tale distanza:
la pressione è $p(r)$
la velocità è $v(r)$
l'altezza del liquido può considerarsi nulla

quindi:

$\rho g h + p_0 = p(r) + \dfrac {\rho v^2(r)}{2}$

sostituendo il valore trovato per $v(r)$

$\rho g h + p_0 = p(r) + \dfrac {\rho g h R_1^2}{r^2}$

da cui:

$p(r) = p_0 + \rho g h (1 - \dfrac{R_1^2}{r^2})$

Messaggio da **Pigkappa** » 2 set 2011, 17:42

Sì, adesso vi torna e avete trovato gli errori.

Incomplete93 · Messaggio da **Incomplete93** » 2 set 2011, 19:40

Scusatemi, ma in tutto questo non ho capito se il mio risultato - che è quello che ha trovato anche andreaandrea - è quello giusto o no XD ho sbagliato o no? =P

Messaggio da **Pigkappa** » 2 set 2011, 19:47

È sbagliato. Invece di:

$p(r) = p_0 + \rho\,g\,h\,[1-(\frac{R_2}{r})^{2}]$

Deve venire:

$p(r) = p_0 + \rho\,g\,h\,[1-(\frac{R_1}{r})^{2}]$

Incomplete93 · Messaggio da **Incomplete93** » 2 set 2011, 20:00

Scusatemi, come mai la pressione a distanza $R_1$ dall'asse è quella atmosferica? Non dovrebbe essere a distanza $R_2$ quella atmosferica, e diminuire a distanza $R_1$ dove il liquido ha velocità massima? Aiutatemi a capire.

Messaggio da **Pigkappa** » 2 set 2011, 20:14

Il liquido a distanza $R_1$ dall'asse è a contatto con l'aria; questo vuol dire che è per forza alla pressione atmosferica. Altrimenti, prova ad immaginare cosa succede se metti tra liquido ed aria un piccolo blocco di materiale abbastanza sottile; subisce una forza grande a piacere.

Sasha™ · Messaggio da **Sasha™** » 2 set 2011, 20:22

AxxMan ha scritto:Non è costante la velocità, perchè la sezione su cui passa il fluido, cioè la superficie laterale di un cilindro di raggio r e altezza intercapedine, diventa sempre più piccola. Si può ricavare un'equazione differenziale con la conservazione dell'energia e la portata, e bisogna porre vero l'integrale ad $R_2$ e $R_1$ , punti in cui la pressione è rispettivamente $p_0 +\rho gh$ e $p_0$ . Più tardi magari scrivo la soluzione, ma non sono del tutto sicuro perchè c'è un'approssimazione che ho fatto un po' sopsetta

Sono un idiota, io guardavo la sezione.

Incomplete93 · Messaggio da **Incomplete93** » 2 set 2011, 20:44

Ah cavolo non avevo minimamente pensato al fatto che dentro il foro c'è aria XD niente, avete ragione voi =P beh allora sì correggere è poca cosa =)

Sasha™ · Messaggio da **Sasha™** » 3 set 2011, 11:17

Ok, viene così anche a me, non era difficile.

black · Messaggio da **black** » 8 set 2011, 20:14

Pigkappa ha scritto:Deve venire:

$p(r) = p_0 + \rho\,g\,h\,[1-(\frac{R_1}{r})^{2}]$

Scusate la domanda forse banale, ma quindi avvicinandosi all'asse la pressione del liquido tenderebbe a meno infinito??

Fluidi che si introfulano dove non dovrebbero.

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