Una sbarra inclinata che ruota.

[Pigkappa]

Il centro di una sbarra sottile ed uniforme, di massa e lunghezza , è rigidamente fissato ad un asse verticale in modo che l'angolo tra la sbarra e l'asse sia . Le estremità dell'asse sono provviste di cuscinetti. Il sistema ruota senza attrito intorno all'asse con velocità angolare .
a)Si calcolino modulo, direzione e verso del momento angolare del sistema, assumendo come polo il punto .
b)Si dica se esiste (ed in tal caso lo si trovi) almeno un altro polo rispetto al quale il momento angolare del sistema è nullo.
c)Si calcoli di quanto varia il momento angolare del sistema in mezzo giro.
d)Si calcoli il momento meccanico totale delle forze vincolari che agiscono su .

[Pigkappa]

Sembra un problema bruttissimo ma invece vale la pena di farlo, non fate solo problemi delle scuole d'eccellenza. Di sicuro quelli non possono capitare di nuovo, gli altri chissà

[balossino]

Inizio con i primi due punti:

a) Consideriamo le due aste in cui C suddivide la sbarra. Entrambe hanno massa e baricentro a distanza dal polo, lungo l'asse inclinato di rispetto a . Il momento angolare di queste sarà perciò L1=(1/32)D^(2)Mw sin^(2) (perdonate la mia ignoranza del LaTex ) e poiché i momenti sono equiversi, il momento angolare totale sarà L=(1/16)D^(2)Mw sin^(2)

b) Non credo che esista un punto siffatto, ma non saprei dimostrarlo. Forse sto per dire un'emerita cazzata, ma c'entra qualcosa il fatto che il moto della sbarra non è inerziale?

[balossino]

Il centro di una sbarra sottile ed uniforme, di massa e lunghezza , è rigidamente fissato ad un asse verticale in modo che l'angolo tra la sbarra e l'asse sia . Le estremità dell'asse sono provviste di cuscinetti. Il sistema ruota senza attrito intorno all'asse con velocità angolare .
a)Si calcolino modulo, direzione e verso del momento angolare del sistema, assumendo come polo il punto .
b)Si dica se esiste (ed in tal caso lo si trovi) almeno un altro polo rispetto al quale il momento angolare del sistema è nullo.
c)Si calcoli di quanto varia il momento angolare del sistema in mezzo giro.
d)Si calcoli il momento meccanico totale delle forze vincolari che agiscono su .

Per il punto c... non mi è ben chiara la situazione: perché il momento angolare dovrebbe cambiare? L'estremità inferiore della sbarra è a contatto col suolo? In tal caso è chiaro... però non capisco cosa c'entrino allora i cuscinetti fissati sull'asse .

[Pigkappa]

Per il punto c... non mi è ben chiara la situazione: perché il momento angolare dovrebbe cambiare? L'estremità inferiore della sbarra è a contatto col suolo?

Non è a contatto con il suolo. Se risolvi il punto a), puoi dire se il momento angolare varia mentre la sbarra ruota oppure no.

Io ti potrei chiedere perchè non dovrebbe cambiare; se presenti un teorema che dimostra che il momento angolare rimane costante nel moto della sbarra, allora puoi dire che la risposta alla c) è zero.

[AxxMan]

Il momento d'inerzia di una sbarra rispetto al centro è . Il momento angolare non è parallelo ad omega ma perpendicolare alla sbarra, integrando viene . Non mi sembra ci possa essere un punto per cui il momento angolare è costantemente nullo, ma se consideriamo un'istantanea del moto, per un punto diverso dal centro di massa non c'è più simmetria e il momento angolare mi risulta nullo per un punto a dal centro, e così dovrebbe essere anche per tutti i punti sulla perpendicolare alla sbarra passante per quel punto. Il momento angolare verticale si conserva, mentre la componente orizzontale varia con il ritmo della velocità angolare. In mezzo giro varia di , mentre il momento necessario è = diretto tangenzialmente al moto della sbarra.
Dovrei aver sbagliato qualche calcolo al 2, ora rivedo

[balossino]

Il momento d'inerzia di una sbarra rispetto al centro è . Il momento angolare non è parallelo ad omega ma perpendicolare alla sbarra, integrando viene .

Ora ho capito dove sta il problema! Applicando la regola della manina con il vettore posizione che va da C al baricentro della semisbarra, il momento angolare viene perpendicolare per forza! Però come fai ad applicare così il momento d'inerzia? A me viene ponendo R=D/2, m=M/2 e v= nel calcolo dei singoli momenti L= R x mv

[balossino]

Per il punto c... non mi è ben chiara la situazione: perché il momento angolare dovrebbe cambiare? L'estremità inferiore della sbarra è a contatto col suolo?

Non è a contatto con il suolo. Se risolvi il punto a), puoi dire se il momento angolare varia mentre la sbarra ruota oppure no.

Io ti potrei chiedere perchè non dovrebbe cambiare; se presenti un teorema che dimostra che il momento angolare rimane costante nel moto della sbarra, allora puoi dire che la risposta alla c) è zero.

Uhmmm... ora che la situazione mi è un po' più chiara credo di poter azzardare un'ipotesi. Mi sembra che i moduli delle grandezze che sto considerando (vettore posizione, q.d.m. dei centri di massa) si conservino nel tempo: ragion per cui il valore assoluto del momento angolare totale non cambia. Invece, se questo rimane sempre in posizione perpendicolare rispetto alla sbarra e al suo moto, è evidente che a ogni istante avrà una direzione diversa...

[AxxMan]

Il momento angolare di un'asta non è uguale a quello di una particella posta nel baricentro... Comunque mi correggo, non esiste nessun punto rispetto a cui il momento angolare è nullo. Innanzitutto il momento angolare rispetto a punti su una specifica retta perpendicolare alla sbarra è uguale, quindi si possono anche considerare solo i punti sulla retta della sbarra. Per punti fuori dalla sbarra è evidente che vi sono coppie di punti della sbarra che si muovono alla stessa velocità e a distanze diverse dal punto, quindi il momento angolare non può essere nullo. Per punti interni alla sbarra a distanza d dal centro invece si possono considerare le coppie di punti nel segmento 2d con punto medio nel centro. Quelli dall'altra parte del centro contribuiscono in maniera maggiore al momento angolare, e poichè i restanti punti hanno momento angolare diretto nello stesso verso, neanche qui il momento può essere nullo. Al massimo diventa sempre meno intenso man mano che ci si allontana dall'asta, com'è ovvio perchè a grandi distanze l'asta sembrerà un corpo puntiforme

[Pigkappa]

A me viene che il momento angolare è sempre lo stesso, indipendentemente dal punto da cui lo si calcola. Prova a determinare se questo fatto è vero o falso...