Problema elettrostatica

egl · Messaggio da **egl** » 31 lug 2011, 16:23

Meta* ha scritto:
$\displaystyle \int (kr^4) 8 \pi r dr =\frac{\rho \cdot (4/3 \pi r^3)}{\epsilon_0} \longrightarrow \rho = K \epsilon_0 r^3$

Questo passaggio non è corretto poichè la densità di carica volumica è una funzione della distanza dal centro. Per trovare la carica in una sfera di raggio $r$ non puoi moltiplicare semplicemente densità per volume. Inoltre, dal momento che la distribuzione è a simmetria sferica, punti a distanza uguale dal centro hanno lo stesso modulo del campo elettrico, per cui non serve l'integrale che hai scritto, si può evitare.

Se derivi il volume di una sfera ottieni un volumetto: $dV=4\pi r^2 dr \Rightarrow dq=\rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$

La carica racchiusa in una sfera di raggio $R$ è allora: $\displaystyle q=\int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$

Per il teorema di Gauss $\displaystyle q=\int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr=\epsilon_0\cdot KR^4 \cdot 4\pi R^2$

Si ha quindi l'integrale di una funzione a noi sconosciuta, per cui per il teorema fondamentale del calcolo integrale avrò $\displaystyle\rho(r) \cdot 4\pi R^2= 6\epsilon_0\cdot 4\pi K R^5 \Rightarrow \rho(r)=6\epsilon_0KR^3$ Spero si capisca

Meta* · Messaggio da Meta* » 2 ago 2011, 14:19

Erroracci

Grazie

Meta* · Messaggio da Meta* » 6 ago 2011, 18:53

Chiedo scusa

altro problema
Ho un guscio sferico con un carica uniformemente distribuita di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2$ e devo calcolare il potenziale in un punto $R_1<R<R_2$ .

Divido il guscio in due parti, la prima $R_1-R$ contenente una carica $\displaystyle q'=q \frac{R^3-R_1^3}{R_2^3-R_1^3}$
e la seconda $R-R_2$ contente una carica $\displaystyle q''=q \frac{R_2^3-R}{R_2^3-R_1^3}$

Il potenziale totale è dato dalla somma del potenziale dovuto a $q'$ e quello su un guscio di raggio $R_2$ e carica $q''$ .

Il primo è :
$\displaystyle E dA = \frac{q'}{\epsilon_0} \longrightarrow E= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{(R_2^3-R_1^3)}\Big[\frac{R^3-R_1^3}{R^2}\Big]$
$\displaystyle V= -\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{(R_2^3-R_1^3)}\int\Big[\frac{R^3-R_1^3}{R^2}\Big] dR$
$\displaystyle V= \frac{q}{4\pi\epsilon_0 (R_2^3-R_1^3)}[-\frac{R^2}{2}-\frac{R_1^3}{R}]$

Per la seconda parte invece :

$\displaystyle E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\cdot \Big[ \frac{R_2^3-R^3}{R_2^2(R_2^3-R_1^3)} \Big]$

Ora per calcolare il potenziale non capisco come devo svolgere questo secondo integrale..

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