Provo a risolverlo.
Sia
la massa della particella
a) Le quantità che si conservano sono la energia meccanica della particella (gli urti sono elastici), e il momento angolare calcolato rispetto a O.
In particolare l'energia meccanica vale, per
ed
qualsiasi:
Per
ed
qualsiasi il momento angolare, in modulo, detto
l'angolo tra il vettore che unisce O alla posizione della particella, e il vettore velocità:
b) affinche il moto sia periodico è necessario che il sistema sia legato, ovvero che, definita nulla l'energia potenziale all'infinito,
da cui segue:
Se le pareti non esistessero, la particella si muoverebbe, soddisfatta la condizione sopra, lungo un ellisse di fuoco O. Il moto della particella sarà determinato adesso:
nel primo tratto dalla parte di ellisse compresa nel I quadrante degli assi,
nel secondo tratto dal simmetrico del II quadrante rispetto all'asse delle ordinate,
nel terzo dal simmetrico rispetto ad O del III quadrante
nel quarto dal simmetrico attorno all'asse delle ascisse del IV quadrante.
In parole povere è sufficiente immaginare di piegare il piano lungo i due assi, come si farebbe con un foglio di carta.
Si può osservare facilmente che, per ragioni di simmetria, il primo e il quarto tratto coincidono, così come il secondo e il terzo.
Detto tutto ciò, ne segue che il numero di rimbalzi massimo, in un periodo, è 4, tanti quante le intersezioni con gli assi dell'ellisse.
c) Questa è la parte che mi ha creato più problemi, perchè alcuni risultati sono orrendi.
è noto che in un moto ellittico, il punto più vicino al fuoco è il perifelio, mentre il punto più lontano e l'afelio.
Penso che adesso si debbano fare due casi: il caso in cui il punto di ascissa
è "l'apocentro" e il caso in cui è il "pericentro". i risultati sono interscambiabili:
- se
è il pericentro la distanza minima è
e la distanza massima è
(la calcolerò in seguito)
- se
è l'apocentro la distanza massima è
e la distanza minima è
Ovviamente quale delle due situazioni si verifichi, dipende da
e da
Ora se la forza
che agisce sul corpo, che si trova inizialmente in
vale esattamente:
Il moto è circolare uniforme.
Ciò accade se
Se invece
, il corpo tenderà ad allontanarsi da O e
sarà conseguentemente il pericentro.
Se infine
, il corpo tenderà ad avvicinarsi ad O e
sarà conseguentemente l'apocentro.
Calcolo ora
Sia
la velocità del corpo per
Imposto il sistema di conservazione di
e di
Come risultato ottengo:
Sia
l'energia potenziale iniziale della particella.
Sia
l'energia cinetica iniziale della particella.
Sia
Che ne dite? vi convince come soluzione ? Datemi il vostro parere, perchè secondo me esiste un modo più semplice di scrivere D.
