SNS 2004/2005 n. 2

[andreaandrea]

Come devo lanciare una palla da tennis contro una parete inclinata a 45° in modo che, fissato il valore dell’energia cinetica con cui la palla è lanciata, essa raggiunga la massima altezza possibile dopo un solo rimbalzo? Si indichi con alfa l’inclinazione del lancio e con L la distanza in orizzontale del punto di lancio dalla parete.

p.s. ho ripostato il topic, già presente nella sezione problemi SNS affinchè fosse visibile, e perchè nascesse una nuova discussione, visto che l'ultimo messaggio risulta datato 2008. Inoltre essendo tale topic sul forum di matematica, non sarebbe visibile da questa sito un post in più in tale argomento. spero di non aver commesso errori e vi chiedo scusa subito se lo ho fatto.

ho provato a risolverlo, ma ho qualche difficoltà. mi potreste dire se il procedimento è corretto a parer vostro ?

Sia l'energia cinetica iniziale.

Si osservi innanzi tutto che L è sia la distanza orizzontale del punto di lancio che l'altezza da cui viene lanciata la pallina.
ho ragionato così. dopo il rimbalzo, nel punto più alto della sua traiettoria, la pallina avrà energia potenziale ed energia cinetica .

è la componente orizzontale della velocità, ovvero la componente parallela al terreno (non alla parete).
l'energia meccanica è fissata e si conserva. segue che tanto minore è l'energia cinetica, tanto maggiore è l'energia potenziale e quindi tanto maggiore è altezza massima.
durante il moto che segue al rimbalzo si mantiene costante nel tempo. pertanto, se vogliamo che sia minima è necessario che la componente orizzontale della velocità della pallina subito dopo l'urto sia minima.

Ipotizzo ora che l'angolo con cui la pallina impatta la parete sia uguale all'angolo, sempre rispetto alla parete, con cui la pallina riparte.

Segue che l'impatto ideale è quello in cui la pallina, nel momento immediatamente precedente all'impatto ha componente verticale della velocità nulla. ciò avviene quando il vertice della parabola appartiene alla retta .

calcolo ora il vertice della parabola.
dalle leggi del moto ottengo



Impongo che tale vertice appartenga alla retta

Ottengo quindi:



Che ne dite? vi sembra corretto?
per quanto riguarda le limitazioni, penso che l'unica necessaria, sia , condizione facilmente verificabile.

Grazie mille in anticipo dell'aiuto.

[Morley]

Prima di tutto diamo dei nomi alle energie in gioco in questo problema:

l'energia potenziale della palla al momento del lancio
l'energia cinetica della palla al momento del lancio
l'energia potenziale della palla un istante prima dell'urto
l'energia cinetica della palla un istante prima dell'urto
l'energia potenziale della palla un istante dopo l'urto
l'energia cinetica della palla un istante dopo l'urto
l'energia potenziale della palla in un punto della nuova traiettoria
l'energia cinetica della palla in un punto della nuova traiettoria

Scriviamo certe uguaglianze
(l'unica forza che agisce è conservativa)
(l'altezza è rimasta la stessa e l'energia cinetica si è conservata poichè l'urto è elastico)
(l'unica forza che agisce è conservativa)

Allora

[Morley]

Quindi



Se non ho capito male noi vogliamo confrontare tra di loro le varie altezze massime raggiunte(l'altezza massima raggiunta fra tutti i tiri è la massima fra le altezze massime di ogni tiro) avendo volta per volta a disposizione un'energia meccanica di partenza differente.
Per questo conviene porre
Di conseguenza
Visto che l'energia cinetica del momento di lancio è fissata, allora la risposta dovrebbe essere: per ottenere la massima altezza, lanciare la palla alla maggiore altezza possibile dal suolo. A quanto pare alfa ed L e l'angolo di inclinazione della parete sono superflui.

NOTA: mi sembra molto strano che il problema dia tanti dati superflui, cosa che mi spinge a pensare che il mio ragionamento è probabilmente sbagliato. Ma dove?

[andreaandrea]

Visto che l'energia cinetica del momento di lancio è fissata, allora la risposta dovrebbe essere: per ottenere la massima altezza, lanciare la palla alla maggiore altezza possibile dal suolo.

Hai ragione, ma la massima altezza dal suolo dopo il primo rimbalzo! non è scontato che lanciandola nel punto più alto possibile, dopo il rimbalzo l'altezza massima raggiunta sia la massima tra le altezze massime.

NOTA: mi sembra molto strano che il problema dia tanti dati superflui

Hai perfettamente ragione, tali dati devono essere indispensabili!

[Pigkappa]

(rispondendo a morley) Innanzitutto, non serve fare tutta quella confusione per dire che l'energia si conserva. È ovvio che si conserva e fare quei passaggi intermedi è inutile. Inoltre, quando provi a risolvere un problema e scopri che non ha alcun senso perchè tutti i dati sono inutili e la soluzione è facilissima, dovresti fare lo sforzo di rileggerlo e capire dove stai sbagliando. In questo caso, l'energia fissata è l'energia cinetica e non l'energia meccanica totale (ma anche se fosse l'energia meccanica totale, la tua soluzione sarebbe sbagliata; sembri ignorare totalmente la parte cinematica del problema).


L'approccio di andreaandrea è quello giusto.

[Morley]

In effetti non avevo molta fiducia nella correttezza del mio ragionamento. Ci penserò su.

[dinamitardo]

ma una volta impostata l'equazione è necessario anche risolverla? Perchè volendo ci si riesce ma viene una cosa immonda!

[Omar93]

Non ho capito in base a cosa è L. E' la distanza dalla base o la proiezione sull'asse delle x del punto toccato dalla pallina?

[Pigkappa]

"la distanza in orizzontale del punto di lancio dalla parete"

Prendi l'asse delle ascisse, trova l'intersezione con la parete; la distanza tra il punto di lancio e questo punto è . Mi sembra chiaro...

[Omar93]

Quindi così?