Effetto pelle in un filo conduttore

[Ippo]

Schematizziamo un filo come un cilindro infinito in lunghezza e di raggio , fatto di un materiale di conduttività .
Supponiamo che nel filo sia mandata da un generatore esterno la corrente alternata .
Se la frequenza è abbastanza bassa, gli effetti di induzione elettromagnetica sono trascurabili, e possiamo applicare la legge di Ampère senza il termine della corrente "di spostamento".
In questa approssimazione, la corrente si distribuisce uniformemente nella sezione del filo, e si ha .

a) Calcolare il campo magnetico indotto dalla corrente all'interno del filo.

Questo campo magnetico è variabile nel tempo, quindi induce un campo elettrico all'interno del conduttore.
Si ricorda la legge di Ohm in forma microscopica: .

b) Calcolare il campo elettrico indotto dal campo all'interno del filo.

c) Imponendo che il flusso totale di corrente si conservi, calcolare la nuova distribuzione della corrente nella sezione, . Dove si concentra la corrente?

A questo punto ci chiediamo, data la nuova distribuzione di corrente, quanto vale la resistenza del filo rispetto a prima.
Una possibile definizione "generalizzata" di resistenza è (potenza totale dissipata per effetto joule nell'intero volume del conduttore, diviso corrente al quadrato).
La potenza dissipata per effetto joule per unità di volume vale .

d) Quanto vale (secondo la definizione generalizzata) la resistenza di un tratto di filo di lunghezza ? Questo valore è maggiore o minore del valore che si otterrebbe considerando una distribuzione di corrente uniforme ()?

Questo è il motivo per cui, quando si devono trasportare correnti molto grandi, si preferisce usare molti fili sottili che un solo filo spesso.

[Ippo]

Nota: i primi due punti dovrebbero essere accessibili a chiunque sappia le leggi di Maxwell, per gli ultimi due invece bisogna saper fare un integrale su un cerchio. Ricordo che per una funzione che dipende solo dalla distanza dal centro, l'integrale su un cerchio di raggio , , si riduce a .

[floppino81892]

Ci provo
a)Dalla legge di Ampere so che
se la corrente è distribuita in maniera uniforme nel filo conduttore, allora

in una sezione del filo cilindrico di raggio ho che

sostituisco la e ottengo

[Ippo]

Fino a qui tutto ok (a parte che non mi hai specificato direzione e verso di B, che è un vettore; si capisce, ma in generale meglio precisare).
Ora ti suggerirei di prendere un rettangolo con un lato sull'asse del cilindro, e di calcolare il flusso magnetico attraverso questo...