Pallina su piano inclinato mobile.

Morley · Messaggio da **Morley** » 24 giu 2011, 13:23

Ho risolto il problema mettendomi prima in un sistema di riferimento inerziale e poi in uno non inerziale, solidale con il piano inclinato, nel quale ho trovato il grande vantaggio che la traiettoria della pallina segue il profilo del piano inclinato. Aggiungo che nei miei sistemi di riferimento il modulo dell'accelerazione gravitazionale è negativo e quello della forza applicata al piano inclinato positivo.
L'accelerazione della pallina lungo l'asse delle ordinate mi viene

$\ a = g-\frac{Mg-Ftg\theta}{M+Mtg^2\theta+mtg^2\theta}$

Ora, affinchè la pallina si muova verso l'alto devo imporre che questa accelerazione sia maggiore di zero (il segno dell'accelerazione non è necessariamente concorde con quello dello spostamento, ma qui i corpi partono da fermi quindi dovrei avere anche un'accelerazione positiva). Questa imposizione comporta una condizione per la forza F

$\ F > -(M+m)gtg\theta$

In realtà la condizione che ho trovato non mi convince molto, ma mi sembra che il ragionamento fili.

Morley · Messaggio da **Morley** » 30 giu 2011, 15:51

Ecco, quasi per intero, il procedimento da me seguito
SISTEMA NON INERZIALE solidale con il piano inclinato, leggi di Newton per la pallina

$\ -Nsin\theta\ -F_{app} = -ma'_{x}$ a' specifica che si tratta del sistema non inerziale

$\ Ncos\theta\ -mg = -ma_{y}$

La forza apparente dovrebbe essere il prodotto della massa della pallina per l'accelerazione del piano inclinato cambiata di verso

$\ F_{app} = -\frac{Fm+Nmsin\theta}{M}$

Inoltre vale $\ a_{y} = a'_{x}tan\theta$

Questo dà origine a questo sistema in due incognite

$\ -Nsin\theta\ -\frac{Fm+Nmsin\theta}{M} = -ma_{y}cot\theta$

$\ Ncos\theta\ -mg =-ma_{y}$

Morley · Messaggio da **Morley** » 30 giu 2011, 16:40

A questo punto ricavo N dalla seconda equazione

$\ N = \frac{mg-ma_{y}}{cos\theta}$

e questo valore di N, sostituito nella prima equazione dovrebbe dare proprio l'accelerazione verso l'alto che ho già indicato.

Morley · Messaggio da **Morley** » 10 lug 2011, 16:57

Qualcuno potrebbe controllare il mio procedimento? Ho ancora dei dubbi in proposito.

Grazie.

Messaggio da **Pigkappa** » 11 lug 2011, 1:39

Controllare tutti i conti è faticoso e noioso e puoi perdonarci se non abbiamo molta voglia di farlo. Io ho risolto questo problema a suo tempo e non era stata una cosa molto divertente.

Se per caso hai il morin, il problema 3.8 è simile a questo, e puoi guardare lì la soluzione.

L'accelerazione del piano nel caso di F = 0 viene, a parte il segno che dipende da come hai messo gli assi:

$A_x = \frac{m g \sin \theta \cos \theta}{M + m \sin^2 \theta}$

Guarda se il risultato ti torna, sennò provo a vedere se condivido i tuoi conti...

Morley · Messaggio da **Morley** » 11 lug 2011, 13:01

Il mio valore per l'accelerazione del piano inclinato nel caso F=0 è identico a quello da te indicato. Anche l'accelerazione della pallina verso l'alto deve essere giusta perchè l'ho ottenuta attraverso due diversi procedimenti e i valori coincidono. Inoltre ho ricontrollato i calcoli.

Comunque ora mi viene in mente un particolare che potrebbe modificare di poco la condizione su F e risolvere le mie perplessità.
Nelle leggi di Newton per la pallina ho scritto

$\ Ncos\theta\ -mg = -ma_{y}$

poi, una volta trovata $\ a_{y}$ ho posto $\ a_{y} > 0$ per intendere che essa deve essere diretta verso l'alto. Ma forse la mia accelerazione è $\ -a_{y}$ e quindi devo imporre $\ -a_{y} > 0$ , cioè $\ a_{y} < 0$ .

Allora la condizione su F molto più convincente diventa $\ F < -(M+m)gtg\theta$
Giusto?

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