Campo B generato da un cilindro

[Ely]

Salve a tutti!
Volevo chiedere, se ho un cilindro infinito, percorso da una densità di corrente J=1 A/m, che scorre lungo la direzione dell'asse del cilindro, quale è il campo magnetico in tutte le regioni dello spazio?

1) Per r<R (R=raggio cilindro)
B=0


2) Per r>R
Utilizzerei la formula del campo per un cilindro infinito.
Il punto è: come scrivo i ? Perchè i=JA, ma come faccio se lui è infinito?

Se qualcuno ha un' idea ...

[Pigkappa]

Salve a tutti!
Volevo chiedere, se ho un cilindro infinito, percorso da una densità di corrente J=1 A/m, che scorre lungo la direzione dell'asse del cilindro, quale è il campo magnetico in tutte le regioni dello spazio?

1) Per r<R (R=raggio cilindro)
B=0

2) Per r>R
B=0

3) Per r=R
Utilizzerei la formula del campo per un cilindro infinito.
Il punto è: come scrivo i ? Perchè i=JA, ma come faccio se lui è infinito?

Se qualcuno ha un' idea ...

Perchè il campo dovrebbe essere nullo dentro e fuori dal cilindro..? Inoltre, non credo esista una "formula del campo per un cilindro infinito"; si può risolvere il problema usando le regole usuali per il campo magnetico.
Prova ad immaginare che il cilindro sia molto sottile. Allora è come se fosse un filo infinito; e dovresti sapere bene che fuori da un filo infinito percorso da corrente, c'è un campo magnetico non nullo (che dovresti saper calcolare).

Il fatto che il cilindro sia infinito non dà problemi nello scrivere i=JA. Il cilindro è infinito in lunghezza, non in spessore. Perciò l'area è finita.

La soluzione al problema si può trovare con qualche considerazione di simmetria e con la legge di Ampère, di cui avresti dovuto vedere un'applicazione nel caso del filo infinito.


[EDIT: non mi sono accorto che J era la densità di corrente per unità di lunghezza e non di area...]

[Ely]

Quello dell'R è un errore di battitura ... così è come lo volevo scrivere.
La formula esiste, cmq con Ampère si trova tranquillamente B.
Lo spessore del filo non c'entra, la j è in A/m quindi è I su unità di lunghezza (cioè la circ.) era questo il punto.

[Ippo]

hint: se è una curva chiusa e è una superficie che ha quella curva come bordo, vale la legge di Ampere (caso statico, senza corrente di spostamento):

Nel nostro caso però conviene scriverla come

dove indica il flusso del vettore attraverso la superficie , e quindi specifichiamo che la corrente concatenata è data dal flusso di questa .

A questo punto considera circonferenze di raggi maggiori o minori di R, e chiediti quanto vale questo flusso.

[Ely]

Per r<R
B=0

Per r>R





Giusto?

1)Se Il campo B, nel limite magnetostatico, a cosa corrisponde?Significa che posso utilizzare ancora Ampere perchè sono nel caso statico?
2)Se invece la corrente fosse distribuita uniformemente nel volume?

[Ippo]

2)Se invece la corrente fosse distribuita uniformemente nel volume?

Ah, quindi nel problema che proponevi tu era una corrente di superficie distribuita uniformemente sul bordo del cilindro, da cui B=0 all'interno.
Questo era davvero poco chiaro (anche se in effetti le unità A/m al posto delle solite A/m^2 lo suggerivano: ma sarebbe stato meglio specificarlo).
In questo caso sì, la soluzione è giusta.
Alla domanda 2 puoi rispondere con l'hint che ti ho dato prima (che era pensato proprio per questo caso).
Alla domanda 1 si risponde in generale con una approssimazione: dipende da cosa intendi con "limite magnetostatico". C'è il termine corrispondente a quello statico, che però è oscillante, quindi dà luogo (Faraday) ad un campo elettrico, a sua volta oscillante; questo comporta una corrente di spostamento, che genera (Ampere-Maxwell) una correzione al campo magnetico.
Puoi andare avanti così all'infinito, ma le correzioni successive dipendono da fattori tipo e quindi, per l'ipotesi di basse frequenze, contano pochissimo (di si arriva al massimo alla prima correzione). In ogni caso questo è piuttosto difficile e lascerei perdere per ora

[Ely]

Ciao Ippo, la domanda è proprio questa: cosa si intende per limite magnetostatico?
Io ho una
devo calcolare, in qst limite, il campo magnetico in funzione del tempo, in tute le regioni dello spazio.
Non credo mi stia chiedendo quello che mi scrivevi, perché sicuramente va bene, ma come giustamente dici, la vedo difficile.

A regime magnetostatico, significa con corrente continua no?ma allora non capisco il senso della domanda.
Per questo chiedevo se c'era qualche altra spiegazione.

Mentre per il volume avrò .
Se utilizzo il flusso, però, non mi tornano le unità di misura, puoi farmi vedere come si fa ...?

Grazie

[Ippo]

"regime magnetostatico" non vuol dire per forza corrente continua; in questo caso significa, immagino, che le correzioni di cui ti dicevo vanno trascurate, e ci si può accontentare di fare il caso in corrente continua appiccicando a tutto una dipendenza temporale . Questo ha senso se la frequenza è abbastanza piccola: in realtà dovrebbe essere , dove L è una lunghezza caratteristica della distribuzione di corrente (se fosse un solenoide finito, ad esempio, potremmo metterci la lunghezza). Questa distribuzione però è illimitata in una direzione, e questo mi mette qualche dubbio. Credo abbia senso mettere il vincolo con R il raggio del cilindro, ma così su due piedi non sono sicurissimo che funzioni...
In ogni caso, il "regime magnetostatico" è un limite di basse frequenze (): i campi variano così lentamente che ha senso risolvere il problema in ogni istante come se fossimo nel caso statico, anche se in realtà non è così.

Per il cilindro "pieno" devi considerare una densità di corrente "di volume" (corrente distribuita in tutto il volume del cilindro), e non superficiale come nel caso di prima (in cui tutto il flusso era limitato nella superficie del cilindro), quindi va in ampere su metro quadro. Questo dovrebbe far tornare tutto (il flusso viene una corrente), e si ha che il flusso per un cerchio di raggio r<R è . Se vuoi imporre che la corrente totale sia la stessa del caso di prima, devi solo imporre che i flussi totali siano gli stessi, cioè

(le dimensioni tornano: A/m^2=(A/m)/m)

Spero di aver chiarito qualche dubbio

[Ely]

Ok, con una e imponendo che i flussi siano uguali mi torna! Grazie mille

Per il limite, ho sostituito la nuova espressione della corrente e ho analizzato la situazione a tempi diversi. Perché il problema in realtà era un po' più complicato.
C'era infatti anche un filo, sovrapposto all'asse del cilindro, e anche questo ad un certo punto aveva una i, ma rivolta nel verso opposto di j, che variava come un cos.
Quindi, probabilmente, voleva solo farci notare che con correnti che variano in questo modo il B totale non si annulla mai. Cosa che si può vedere subito facendo un grafico delle correnti in funzione del tempo.
Quindi analizzato ad istanti "particolari", si vede che si annulla il o il ma non il B totale.

E così quindi se mi dici di "risolvere il problema ad ogni istante" dovrebbe andar bene se l'ho svolto come scritto sopra.

Grazie, di nuovo.
Ely