Qualche perplessità sulla conservazione del momento angolare e della quantità di moto di un sistema di due pianeti che interagiscono con forze gravitazionali.
Ammettiamo di metterci in un sistema di riferimento che ha centro in uno dei due pianeti (già riguardo a questa scelta mi chiedo: è necessario specificare un sistema di riferimento oppure il momento angolare e la quantità di moto se si conservano in un sistema di riferimento si conservano anche in qualunque altro?).
Non ci sono problemi, per quel che mi sembra, per la conservazione del momento angolare: lascio da parte il momento angolare del pianeta con cui sono solidale e scrivo:
MOMENTO del secondo pianeta (in un certo istante) = MOMENTO del secondo pianeta (in un istante successivo). D'altra parte questa uguaglianza prova, se non sbaglio, anche la seconda legge di Keplero.
Se invece lascio da parte la quantità di moto del pianeta con cui sono solidale e scrivo:
QUANTITA' DI MOTO del secondo pianeta (in un certo istante) = QUANTITA' DI MOTO del secondo pianeta (in un istante successivo), allora, in quanto posso semplificare la massa del pianeta, risulta, se non mi inganno, che la sua velocità deve mantenersi costante.
Deve esserci uno, o forse più errori in questo ragionamento.
moto di pianeti
Re: moto di pianeti
Finchè si tratta di sistemi di riferimento inerziali è vero. Ma se i due pianeti ruotano uno intorno all'altro, non puoi prendere come sistema di riferimento uno dei due e applicare la conservazione della quantità di moto, perchè non sei in un sistema inerziale.Morley ha scritto:(già riguardo a questa scelta mi chiedo: è necessario specificare un sistema di riferimento oppure il momento angolare e la quantità di moto se si conservano in un sistema di riferimento si conservano anche in qualunque altro?)
Un sistema di riferimento comodo è quello del centro di massa dei due corpi, perchè sappiamo che rimane fermo (se non ci sono forze esterne) e quindi è sicuramente inerziale. Quando uno dei due corpi celesti ha massa molto più grande dell'altro (esempio: Terra - stazione spaziale; Sole - Terra), il centro di massa coincide quasi esattamente con il corpo più pesante.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: moto di pianeti
Ok, se mi metto solidale con uno dei due pianeti non posso considerare valida la conservazione della quantità di moto. Ma allora perché vale la conservazione del momento angolare? Queste conservazioni non dipendono entrambe dal fatto che ad agire sono forze interne? Per me o sono entrambe valide o non lo è nessuna (forse è qui l'errore?)
Re: moto di pianeti
Su queste cose sono arrugginito, ma credo che in generale anche il momento angolare non si conservi se ti metti in un sistema non inerziale. Ad esempio, se inizi a ruotare su te stesso con 
vedi aumentare nel tempo il momento angolare di un corpo che nel sistema del laboratorio sarebbe fermo.
Nel caso dei pianeti, però, il fatto che il momento angolare si conservi nel sistema del CDM implica che si conservi anche nel sistema di uno dei due corpi. È facile da dimostrare, ti invito a provarci.
Nel caso dei pianeti, però, il fatto che il momento angolare si conservi nel sistema del CDM implica che si conservi anche nel sistema di uno dei due corpi. È facile da dimostrare, ti invito a provarci.
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Re: moto di pianeti
Riguardo alla dimostrazione che mi hai chiesto, non mi vengono grandi idee.
Riguardo invece alla quantità di moto, accettato il fatto che essa non si conserva se faccio la scelta di prendere uno dei due pianeti come sistema di riferimento, in che maniera posso descrivere la sua variazione? Ovviamente devo usare il teorema dell'impulso, ma come scrivere l'impulso della forza di gravità che agisce per un tempo DELTA t ? Devo calcolare un integrale visto che la forza non è costante, oppure l'impulso è semplicemente (GMm/r^2)*DELTA t ?
Riguardo invece alla quantità di moto, accettato il fatto che essa non si conserva se faccio la scelta di prendere uno dei due pianeti come sistema di riferimento, in che maniera posso descrivere la sua variazione? Ovviamente devo usare il teorema dell'impulso, ma come scrivere l'impulso della forza di gravità che agisce per un tempo DELTA t ? Devo calcolare un integrale visto che la forza non è costante, oppure l'impulso è semplicemente (GMm/r^2)*DELTA t ?
Re: moto di pianeti
Non c'è solo l'impulso dovuto alla forza di gravità. Il problema è che in questo sistema di riferimento ci sono delle forze apparenti, perchè il sistema di riferimento non è inerziale. Ad esempio, poichè il pianeta che hai preso come origine delle coordinate si muove (descrivendo una ellisse) se visto da un osservatore esterno, nel sistema del pianeta c'è una forza centrifuga che agisce sull'altro pianeta, e questa forza non ha sempre lo stesso modulo. La descrizione delle forze in questo sistema è complicata e non mi ci addentrerei.
Comunque, se anche ci fosse solo la forza gravitazionale, ovviamente dovresti calcolare un integrale. Intanto perchè la forza di gravità è GMm/r^2 e la distanza dai due pianeti dipende dal tempo; e poi perchè la direzione ed il verso di tale forza cambia nel tempo.
ed il secondo in 
, con velocità 
e 
, puoi scrivere il momento angolare 
in questo sistema in funzione di queste quantità e delle masse.
Invece, vedendo le cose dal primo pianeta, la posizione del secondo è
e la sua velocità 
. In questo sistema come si scrive il momento angolare 
del secondo pianeta? Riesci a dimostrare che se la quantità che abbiamo chiamato è costante, allora anche lo è?
Comunque, se anche ci fosse solo la forza gravitazionale, ovviamente dovresti calcolare un integrale. Intanto perchè la forza di gravità è GMm/r^2 e la distanza dai due pianeti dipende dal tempo; e poi perchè la direzione ed il verso di tale forza cambia nel tempo.
Se, mettendo l'origine nel CDM, il primo pianeta si trova inRiguardo alla dimostrazione che mi hai chiesto, non mi vengono grandi idee.
Invece, vedendo le cose dal primo pianeta, la posizione del secondo è
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Re: moto di pianeti
Sinceramente avevo già pensato di considerare quelle grandezze per impostare la dimostrazione, ma, anche dopo averci pensato a lungo, mi rimangono dei dubbi
1) i dati necessari per scrivere il momento angolare nel sistema del CDM (massa, velocità, posizione, angolo formato dal vettore velocità e dal vettore posizione) non fissano l'angolo tra i vettori posizione dei due corpi, e dunque neanche quello tra i vettori velocità, ma penso di avere bisogno di entrambi visto che devo calcolare la differenza tra i vettori posizione e velocità,
2)ammetendo pure che il problema precedente si possa risolvere, mi sembra estremamente lungo calcolare tutti gli angoli e i seni degli angoli di cui ho appunto bisogno per scrivere il momento angolare rispetto all'altro sistema, solidale con uno dei due corpi.
Non c'è forse una via più breve?
1) i dati necessari per scrivere il momento angolare nel sistema del CDM (massa, velocità, posizione, angolo formato dal vettore velocità e dal vettore posizione) non fissano l'angolo tra i vettori posizione dei due corpi, e dunque neanche quello tra i vettori velocità, ma penso di avere bisogno di entrambi visto che devo calcolare la differenza tra i vettori posizione e velocità,
2)ammetendo pure che il problema precedente si possa risolvere, mi sembra estremamente lungo calcolare tutti gli angoli e i seni degli angoli di cui ho appunto bisogno per scrivere il momento angolare rispetto all'altro sistema, solidale con uno dei due corpi.
Non c'è forse una via più breve?
Re: moto di pianeti
Lascia perdere gli angoli, queste cose si fanno meglio con i vettori.
Con i simboli del mio post precedente, dovresti sapere perchè valgono queste cose (
è il prodotto vettoriale):
 \times (\vec v_2 - \vec v_1))
Sapendo che è costante, e ricordandoti che e sono i vettori che partono dal centro di massa ed arrivano ai due pianeti, riesci a dimostrare che anche è costante?
Adesso dovrebbe essere abbastanza facile, comunque se vuoi ti dico come si fa...
Con i simboli del mio post precedente, dovresti sapere perchè valgono queste cose (
Sapendo che
Adesso dovrebbe essere abbastanza facile, comunque se vuoi ti dico come si fa...
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"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: moto di pianeti
Ecco fin dove riesco ad arrivare:
}{m_{2}+m_{1}})
la posizione del centro di massa rispetto ad m1.
Ora ho lavorato con questa uguaglianza applicando alcune regole delle equazioni algebriche sperando che fosse lecito farlo.
+(m_{2}+m_{1})r_{1}= 0)
Qui faccio il prodotto vettoriale di entrambi i membri di questa uguaglianza per v1
Alla fine mi viene
Di qui confrontando con L` posso dire che
Allora dovrei mostrare che quella quantita' si conserva, ma se pure ci riuscissi questo implicherebbe che v2-v1 deve essere costante!
la posizione del centro di massa rispetto ad m1.
Ora ho lavorato con questa uguaglianza applicando alcune regole delle equazioni algebriche sperando che fosse lecito farlo.
Qui faccio il prodotto vettoriale di entrambi i membri di questa uguaglianza per v1
Alla fine mi viene
Di qui confrontando con L` posso dire che
Allora dovrei mostrare che quella quantita' si conserva, ma se pure ci riuscissi questo implicherebbe che v2-v1 deve essere costante!
Re: moto di pianeti
Rileggendo vedo cose che mi lasciano perplesso.
Il mio problema e' che non so lavorare cosi ampiamente con i vettori, o magari che una dimostrazione cosi banale continua a sfuggirmi.
Il mio problema e' che non so lavorare cosi ampiamente con i vettori, o magari che una dimostrazione cosi banale continua a sfuggirmi.