Potenziale elettrico

Cheyenne · Messaggio da **Cheyenne** » 1 giu 2011, 21:33

In un esercizio di elettrostatica, mi si chiede di calcolare il potenziale $V_{(r)}$ all'interno di una sfera isolante di raggio $R$ uniformemente carica, assumendo $V=0$ per $r=0$ .

$\displaystyle{V=\int E\cdot dr = \int \frac{qr}{4\pi \epsilon_0 R^3}dr=\frac{qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}}$

Proseguendo, il testo mi chiede di dimostrare che il potenziale ad una distanza $r$ dal centro, essendo $r<R$ , è dato da:

$\displaystyle{V=\frac{q(3R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}}$

dove $V=0$ è fissato per $r=\infty$ .

Non ho capito perché con questa variazione il risultato viene diverso dal calcolo precedente.

Per $r=\infty$ , il potenziale non dovrebbe essere sempre $0$ , dal momento che per $r>R$ , allora $\displaystyle{V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}}$ ?

Messaggio da **Pigkappa** » 1 giu 2011, 22:55

In generale, quello che possiamo valutare sperimentalmente non è il potenziale in un punto ma solo la differenza di potenziale tra due punti, che vale:
$\displaystyle V_B - V_A = - \int_A^B{\vec E \cdot d \vec r}$

Per poter dire quanto vale il potenziale in un punto, si deve fissare (arbitrariamente!) il valore di $V$ in qualche punto $\vec r_0$ , e allora si può calcolare:
$\displaystyle V(\vec r) = V(\vec r_0) - \int_A^B{\vec E \cdot d \vec r}$
Spesso si sceglie come condizione quella di mettere il potenziale uguale a zero all'infinito, ma non è sempre così.

Il potenziale di una carica puntiforme è $\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r}$ quando il potenziale è nullo all'infinito, non sempre. Se metti $V(\vec r_0)= 0$ ad un $\vec r_0$ diverso dall'infinito, troverai una formula diversa. Quel che è certo è che le differenze di potenziale tra due punti rimangono le stesse (e questo ci fa anche notare che il segno del tuo risultato è sbagliato, e infatti avevi fatto un errore nei calcoli).

Fedecart · Messaggio da **Fedecart** » 1 giu 2011, 22:56

Cheyenne ha scritto:Non ho capito perché con questa variazione il risultato viene diverso dal calcolo precedente.

Il potenziale, così come l'energia potenziale sono quantità definite a meno di una costante arbitraria. Cambiando lo zero del potenziale cambia la tua costante.
In particolare, questo passaggio

$\displaystyle \int \frac{qr}{4\pi \epsilon_0 R^3}dr=\frac{qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}$

è formalmente "sbagliato". Ovvero è giusto ma non capisco se per caso oppure volutamente. Molto meglio sarebbe

$\displaystyle \int \frac{qr}{4\pi \epsilon_0 R^3}dr=\frac{qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}+k$

con $k \in \mathbb{R}$ dal momento che l'integrale è indefinito e poi fai vedere che con quella scelta di zero del potenziale vale $k=0$

Cheyenne ha scritto: Non ho capito perché con questa variazione il risultato viene diverso dal calcolo precedente.
Per $r=\infty$ , il potenziale non dovrebbe essere sempre $0$ , dal momento che per $r>R$ , allora $\displaystyle{V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}}$ ?

No, non è sempre qualcosa. E' definito a meno di una costante arbitraria. Potrebbe essere benissimo qualcos'altro e non zero.
Prova a rifarti i passaggi relativi al potenziale al di fuori della sfera, scrivendo esplicitamente la costante k e risolvendo per essa, imponendo la condizione data dalla scelta arbitraria dello zero.
Poi rifatti i passaggi per il potenziale all'interno, lascia la costante in giro. E poi rifletti su un fatto: il potenziale è sempre continuo (come mai tra l'altro?!), mentre il campo elettrico può avere (di fatto ha sempre) delle discontinuità alla superficie. Spero che quest'ultimo fatto ti indichi la via.
Spero di esser stato un minimo utile.
Buon lavoro!

Fedecart · Messaggio da **Fedecart** » 1 giu 2011, 22:57

Azz Pigkappa è stato un attimo più rapido! Vabbè

Cheyenne · Messaggio da **Cheyenne** » 2 giu 2011, 9:27

Allora, vediamo.

Chiamo $P$ un punto sulla superficie della sfera uniformemente carica e $Q$ un punto interno alla sfera stessa, tale che $P$ , $Q$ ed il centro della sfera $O$ siano allineati.

$\displaystyle{V_Q - V_P=\int_{R}^ {r}E\cdot dr = \int_{R}^ {r} \frac{qr}{4\pi\epsilon_0 R^3} = \frac{q(R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}}$

Sapendo, per continuità, che $\displaystyle{V_P=\frac{q}{4\pi\epsilon_0R}}$ :

$\displaystyle{V_Q=\frac{q(R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0R}=\frac{q(3R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}}$

che coincide col risultato ufficiale.

Sostituendo $r=0$ , trovo che il potenziale è massimo al centro della sfera.

Da notare come la parabola, che rappresenta il potenziale per $0\le r<R$ , si congiunge perfettamente al ramo d'iperbole, che rappresenta il potenziale per $r\ge R$ .

Messaggio da **giorgiobusoni** » 2 giu 2011, 10:14

Cheyenne ha scritto:Allora, vediamo.

Chiamo $P$ un punto sulla superficie della sfera uniformemente carica e $Q$ un punto interno alla sfera stessa, tale che $P$ , $Q$ ed il centro della sfera $O$ siano allineati.

$\displaystyle{V_Q - V_P=\int_{R}^ {r}E\cdot dr = \int_{R}^ {r} \frac{qr}{4\pi\epsilon_0 R^3} = \frac{q(R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}}$

Sapendo, per continuità, che $\displaystyle{V_P=\frac{q}{4\pi\epsilon_0R}}$ :

$\displaystyle{V_Q=\frac{q(R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0R}=\frac{q(3R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_0 R^3}}$

che coincide col risultato ufficiale.

Sostituendo $r=0$ , trovo che il potenziale è massimo al centro della sfera.

Da notare come la parabola, che rappresenta il potenziale per $0\le r<R$ , si congiunge perfettamente al ramo d'iperbole, che rappresenta il potenziale per $r\ge R$ .

il potenziale è sempre continuo, inoltre se non si attraversa una distribuzione di carica superficiale deve essere anche differenziabile, ed in effetti è così

Lucius · Messaggio da **Lucius** » 31 gen 2013, 20:45

Salve a tutti, leggendo un libro di fisica 2 per ingegneria sull'argomento quì trattato mi è sorto un dubbio: Perché nel calcolare la ddp per r<R si fa: V(R)-V(r) ??? come si stabilisce l'ordine degli addendi della differenza di potenziale? o meglio, perchè non si può fare V(r) - V(R)??

Inoltre, tale integrale è corretto?

http://l.wordpress.com/latex.php?bg=E6F ... %5E3%7D%7D

non dovrebbe essere invertito il segno tra parentesi e quindi diventare (r^2-R^2) il che farebbe saltare la conclusione finale.. magari sbaglio io!

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