Analisi armonica di circuiti

[Meta*]

Qualcuno conosce qualche fonte in cui si può approfondire questo particolare modo di affrontare circuiti non lineari ?
PS intendo con i numeri complessi, credo si chiami cosi

[Stardust]

Intendi l'analisi armonica vera? Tipo: sovrapposizione di funzioni d'onda e simili?
Ho visto qualche applicazione alla Fisica recentemente e non sono cose bellissime, per farle bene servirebbe una buona preparazione da I anno di università su successioni e serie di funzioni che onestamente non sono proprio argomenti meravigliosi.
Per quel poco che ne so, è comunque un settore molto utile per lo studio delle onde e in QM, ma avanzato.

Se invece intendi semplicemente l'uso degli esponenziali complessi nell'analisi dei circuiti (carica, tensione, etc.), non dovrebbe essere una branca a parte: la formulazione con gli è del tutto equivalente a quella con seni e coseni (questione di gusti, immagino) per scrivere le equazioni del circuito. A mio avviso il fatto di usare l'esponenziale la rende più comoda per la soluzione delle equazioni differenziali (le sue derivate sono abbastanza ripetitive, no?), ma è solo una questione di pratica. Anche se, a quanto pare, le funzioni trigonometriche sono preferite dai più.

[Ippo]

circuiti non lineari ?

Col cavolo che te la cavi con un se l'equazione del circuito non è lineare
Cosa intendi? Componenti circuitali non-ohmici? Oppure hai usato la parola sbagliata?

[Omar93]

Io ho trovato questo http://www.dsea.unipi.it/Members/barmad ... a/SSIS.pdf

[Meta*]

Col cavolo che te la cavi con un se l'equazione del circuito non è lineare
Cosa intendi? Componenti circuitali non-ohmici? Oppure hai usato la parola sbagliata?

Considerata la reazione credo che mi sto confondendo, anche perchè la mia fonte è poco affidabile.
Studiando le impedenze mi è stato detto che un "analisi armonica" del circuito semplifica notevolmente i calcoli ed è decisamente più semplice che risolvere un differenziale.. sinceramente non so cosa si intenda per analisi armonica, volevo appunto informarmi, ma non credo che si intendesse circuiti non-ohmici
Spero possiate darmi una mano

[Fedecart]

Vediamo se posso essere d'aiuto. Con "analisi armonica" di solito si intende un ramo dell'analisi matematica che si fonda sul teorema di fourier. In pochissime parole imprecise questo dice che ogni funzione decente (tutte quelle che vedrai in fisica) si può scrivere come serie di funzioni trigonometriche, se è periodica, come un integrale di funzioni trigonometriche se non è periodica.
Esiste chiaramente tutta una teoria che ti dice perchè mai è vero ciò che ti ho scritto sopra, esattamente quali si comportano bene e quali no, come è fatta questa serie e questo integrale (che si chiama trasformata di Fourier), in che modo converge a questa serie e questo integrale, che legame c'è tra l'espressione in serie e la trasformata, come generalizzare a funzioni di più variabili e moltissime altre cose che ora non mi vengono in mente.
E' una questione che, fatta bene, è molto delicata e molto attuale. Non è di per sè difficilissima (devi però necessariamente conoscere le basi dell'Analisi) ma, almeno ai miei tempi, era assolutamente fuori dal programma olimpico.

L'analisi armonica ha numerosissime applicazioni in fisica, ovunque ci siano onde, sia in elettronica che in meccanica quantistica, sia per quanto riguarda in generale la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali (quindi anche un pò ovunque in elettromagnetismo).
Basti pensare, riguardo all'utilità e alle applicazioni, che ad esempio uno dei modi per "dimostrare" il principio di indeterminazione di Heisenberg fa una dell'analisi armonica.

Detto questo, se veramente vuoi approfondire ti do dei riferimenti, ma se posso ti consiglio di concentrarti su strumenti più olimpici e meno universitari. Ecco, credo che l'analisi armonica sia il solito "cannone" che vi dicono di non usare alle olimpiadi. Poi se i tempi son cambiati, o se non ho ragione, chi ne sa più di me mi smentirà.

Buon lavoro.
Fedecart

[Meta*]

Vediamo se posso essere d'aiuto. Con "analisi armonica" di solito si intende un ramo dell'analisi matematica che si fonda sul teorema di fourier. In pochissime parole imprecise questo dice che ogni funzione decente (tutte quelle che vedrai in fisica) si può scrivere come serie di funzioni trigonometriche, se è periodica, come un integrale di funzioni trigonometriche se non è periodica.
Esiste chiaramente tutta una teoria che ti dice perchè mai è vero ciò che ti ho scritto sopra, esattamente quali si comportano bene e quali no, come è fatta questa serie e questo integrale (che si chiama trasformata di Fourier), in che modo converge a questa serie e questo integrale, che legame c'è tra l'espressione in serie e la trasformata, come generalizzare a funzioni di più variabili e moltissime altre cose che ora non mi vengono in mente.
E' una questione che, fatta bene, è molto delicata e molto attuale. Non è di per sè difficilissima (devi però necessariamente conoscere le basi dell'Analisi) ma, almeno ai miei tempi, era assolutamente fuori dal programma olimpico.

L'analisi armonica ha numerosissime applicazioni in fisica, ovunque ci siano onde, sia in elettronica che in meccanica quantistica, sia per quanto riguarda in generale la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali (quindi anche un pò ovunque in elettromagnetismo).
Basti pensare, riguardo all'utilità e alle applicazioni, che ad esempio uno dei modi per "dimostrare" il principio di indeterminazione di Heisenberg fa una dell'analisi armonica.

Detto questo, se veramente vuoi approfondire ti do dei riferimenti, ma se posso ti consiglio di concentrarti su strumenti più olimpici e meno universitari. Ecco, credo che l'analisi armonica sia il solito "cannone" che vi dicono di non usare alle olimpiadi. Poi se i tempi son cambiati, o se non ho ragione, chi ne sa più di me mi smentirà.

Buon lavoro.
Fedecart

Ok, grazie.
E a proposito degli esponenziali complessi ?

[Ippo]

E a proposito degli esponenziali complessi ?

Gli esponenziali complessi si usano per approssimare funzioni a valori complessi allo stesso modo in cui seno e coseno si usano per approssimare funzioni a valori reali. Ma le grandezze fisiche misurabili ovviamente sono tutte reali, allora ti potrai chiedere come mai si usi la teoria per le funzioni complesse e non (solo) quella per le funzioni reali.
La risposta non è profondissima, in sostanza gli esponenziali complessi sono più comodi. Mentre le funzioni trigonometriche quando le derivi vanno l'una nell'altra (, ), il che è piuttosto scomodo da gestire, gli esponenziali complessi vanno in se stessi () e l'operazione di derivazione si può a tutti gli effetti scambiare con la moltiplicazione per , che è molto comodo. Quindi si fa tutto con queste funzioni complesse, e alla fine del problema, quando si cerca il risultato fisico, se ne prende la parte reale ()

Un esempio classico e abbastanza elementare di applicazione di questo discorso è il circuito RLC in corrente alternata. Ammettiamo che un generatore esterno dia una ddp del tipo . Facciamo il trucco di "complessificare" questa funzione, e diciamo che la ddp sia (tanto la grandezza fisica, che è la parte reale di questa cosa, torna correttamente).
Allora anche la corrente avrà una dipendenza temporale dello stesso tipo (si può vedere formalmente dall'equazione del circuito, ma ci si crede molto anche a occhio): . Nota che in generale anche può essere complessa. Cosa comporta questo? : uno sfasamento rispetto al segnale in ingresso. In altre parole lasciando che anche le ampiezze siano complesse teniamo già conto implicitamente di possibili sfasamenti.
La ddp sulla resistenza quindi è ; quella all'induttanza è ; quella al condensatore è (se l'operazione di derivata è la moltiplicazione per , quella di integrale è la divisione per , che moltiplicando sopra e sotto per i dà )
Ora per trovare serve l'equazione della maglia (), ma già da qui sappiamo la relazione di fase che c'è tra le ddp alla resistenza, all'induttanza e al condensatore. La dipendenza temporale infatti è la stessa per tutte e 3, ma rispetto alla ddp su R quella su L si becca un fattore i, che la ruota in avanti di 90° nel piano complesso ==> è in anticipo di un quarto di periodo, mentre quella su C si becca un -i che la ruota indietro di 90° (la i porta avanti di 90°, il meno indietro di 180°) ===> è in ritardo di un quarto di periodo. La del numero ci dice infine la relazione di sfasamento tra queste cose e la tensione in ingresso, e dipenderà dai parametri R,L e C.
Ora, fino ad un certo punto si poteva fare tutto con seni e coseni senza difficoltà, ma trovare e (ampiezza e sfasamento) diventerebbe una schifezza, così invece viene in modo molto naturale.
Finita questa analisi, i risultati fisici sono le parti reali di quelli trovati: ricompaiono seni e coseni.

[Meta*]

Grazie mille

In questo modo in pratica posso scrivere l'equazione per ogni maglia tenendo conto che




scritto questo sostituisco con aggiungendo dove compare una al numeratore, sottraendo dove compare la al denominatore (cioè , ). Giusto ?

Questo vale solo per corrente alternata o in ogni caso in presenza di induttanze + resistenze/condensatori ?

[Fedecart]

Vale solo per correnti alternate ed in più trascuri sempre il transiente iniziale. Se ti serve qualcosa di più generale credo che non si scampi alla famigerata analisi armonica e forse, a far le cose davvero bene, anche all'uso di Trasformate di Laplace (anche se non son certissimo di quest'ultima affermazione)