Campi magnetici per tutti i gusti

[Ippo]

Vi propongo un po' di situazioni fisiche in cui calcolare il campo magnetico (modulo, direzione e verso) in tutto lo spazio o solo in qualche regione dove specificato, usando qualche argomento di simmetria, le solite leggi della magnetostatica (Gauss e Ampere) e un po' di furbizia. Alcune sono banali (ma come ripasso per la prova di dicembre vanno sempre bene), altre sono un po' più "challenging". Buon divertimento!

a) Il solito filo infinito rettilineo percorso da una corrente I
b) Una correzione un po' più "fisica" del caso precedente: un cilindro infinito di raggio percorso da una corrente I uniformemente distribuita sulla sezione circolare (calcolare anche all'interno)
c) Stesso caso di prima, ma nel cilindro stavolta c'è una cavità anch'essa cilindrica e infinita (con asse parallelo a quello del cilindro grande), di raggio e centro distante dall'asse del cilindro. Calcolare il campo all'interno della cavità.
d) Un piano infinito uniformemente carico (con densità superficiale ) che si muove a velocità costante lungo una direzione parallela a sé stesso.
e) Correzione un po' più "fisica" del caso precedente: una lastra piana infinita di spessore e densità di carica uniforme che si muove come sopra. Trovare il campo sia nello spazio esterno sia dentro la lastra.
f) I piani xy e xz carichi con densità superficiale che si muovono a velocità costante diretta lungo x.
g) *difficile* Data una sfera conduttrice di raggio R con un filo rettilineo che trasporta la corrente I dal polo sud al polo nord, e sapendo che la corrente I poi scorre dal polo nord al polo sud distribuendosi uniformemente sulla superficie della sfera, trovare sia dentro sia fuori dalla sfera.

[egl]

Vado io (premetto che non ho usato troppi formalismi coi vettori ecc...):

a) Applico la legge della circuitazione del campo magnetico a distanza r dal filo

b) La densità di corrente vale dove x è un raggio generico. è costante. Ma allora . Ancora legge di Ampere . Se la situazione è quella calcolata al punto a.

c) Posso calcolare il campo magnetico in un punto della cavità e poi sottrarci quello generato come se nella cavità soltanto scorresse una corrente della stessa densità e stesso verso (o sommarci il contributo di una corrente di verso opposto, tanto il risultato è uguale). In formule:

. Ad una distanza x dal centro (ora scorre solo corrente della stessa densità in tutto lo spazio, anchè quello vuoto) vale e (se scorre solo nella cavità) .

d) Non so se sia azzeccato come paragone, ma credo che si possa anche pensare il piano fermo e le cariche in moto. Allora dove y è la lunghezza di piano presa in considerazione (spaccando il piano, y è la lunghezza orizzontale). Alla fine posso anche pensarla come tanti fili rettilinei dove in ciascuno scorre corrente. Il tutto assomiglia molto a un solenoide, se guardiamo il solenoide sulla sua superficie e poi mandiamo il raggio a infinito. Per cui, per simmetria si vede che il campo punta (se guardiamo il piano in sezione) solo orizzontalmente (perchè le componenti verticali si annullano). Per calcolare il campo faccio passaggi analoghi a quelli per calcolare B in un solenoide e non varia con l'altezza.

e) Posso pensare la situazione come tanti piani sovrapposti, quindi il campo è comunque parallelo al piano. Facendo passaggi analoghi al caso precedente si ha che . Con passaggi simili si ha
Sulla seconda parte ho avuto un'idea che, se è giusta , potrebbe essere un modo divertente per sbrogliare la situazione.
Allora, divido l'altezza del piano in due parti (lo guardo in sezione) e prendo un punto ad "altezza" x dalla metà del piano (insomma, il punto dista dalla parte inferiore). Dista allora dal piano superiore. Ma allora per una distanza sotto il punto vedo che i contributi di B si annullano per simmetria e allora brutalmente cancello il piano fino a al di sotto del punto (ovviamente anche quello sopra il punto sparisce). Rimane allora un piano di spessore e calcolo il campo in quel punto sfruttando il risultato appena ottenuto, . Sono abbastanza rincuorato dal fatto che se x=a/2 i conti tornano.

f) Posso utilizzare il risultato del punto d per comporre il campo magnetico (facendo un pò di prove risulta , dove B è il campo della lastra, orientato in vari modi a seconda di dove lo calcolo).
Per l'ultimo punto devo pensarci... .

Potrebbe andare?

[Ippo]

a, b) Ok.
c) Il campo magnetico è un vettore. Stai sommando vettori non paralleli (in generale); il modulo della somma non è la somma dei moduli. E poi non mi dici direzione e verso del risultato: così non mi hai detto niente
d) Carina l'idea del solenoide (si può arrivare alle stesse conclcusioni anche solo con argomenti di simmetria e la legge di Ampere, ma questo ti dà già l'idea di quello che ti aspetti)
e) L'idea che hai avuto per il campo nella lastra è giusta.
f) non devi fare nessuna prova, stai sommando due campi uniformi di modulo B e direzioni y e z; la risultante avrà modulo e direzione/verso (in totale 4 possibilità) a seconda del quadrante del piano yz in cui lo calcoli.
Sulla correttezza delle espressioni dei risultati non mi pronuncio perché mesi di elettromagnetismo in CGS mi hanno un po' annebbiato la memoria su tutti quei e compagnia , ma l'importante è che ci sia l'idea.