Biliardo a dischi

[Falco5x]

Mi sono inventato questo problema, che a prima vista pare facile e invece mi ha riservato insospettate difficoltà.
Il procedimento che ho trovato per risolverlo mi lascia alquanto perplesso, per cui gradirei sentire il parere di altri solutori.
Il problema è il seguente.

In un biliardo a dischi (costituiti da cilindri di materiale omogeneo) questi possono scivolare senza attrito sul piano del biliardo e rimbalzare contro le sponde. Tra dischi e sponde sussiste un attrito radente di coefficiente μ (statico = dinamico).
Un disco viene lanciato contro la sponda con una inclinazione (vedi figura), impattando nel punto P. Sia la velocità del disco (nota) e la sua velocità angolare di valore qualsiasi, purchè e di verso orario.
Si osserva che il rimbalzo avviene in direzione ortogonale alla sponda.
Determinare il valore del coefficiente d’attrito .

Nota: si assuma l’attrito radente tra disco e sponda come unica causa di non conservatività per l’energia cinetica durante gli urti.

Uno degli elementi che mi soprendono e che quindi mi fanno dubitare della soluzione trovata è la invarianza del risultato rispetto alla velocità angolare del disco (purché superiore a un certo minimo).
Confido in volonterosi con i quali poterne discutere.

[pascal]

Nell’urto l’attrito potrebbe essere statico o dinamico; con l’attrito statico l’energia si conserva, ma potremmo ricavare una disuguaglianza per , a meno che non venga esplicitata nella traccia qualche condizione limite. In regime di attrito dinamico, invece, è possibile ricavare . Penso che la condizione debba servire per dimostrare che si perde energia nell’urto, allo scopo di considerare il rotolamento con strisciamento del disco. Da un calcolo preliminare emerge che dovremmo situarci in questo ambito.

[Falco5x]

Nell’urto l’attrito potrebbe essere statico o dinamico; con l’attrito statico l’energia si conserva, ma potremmo ricavare una disuguaglianza per , a meno che non venga esplicitata nella traccia qualche condizione limite. In regime di attrito dinamico, invece, è possibile ricavare . Penso che la condizione debba servire per dimostrare che si perde energia nell’urto, allo scopo di considerare il rotolamento con strisciamento del disco. Da un calcolo preliminare emerge che dovremmo situarci in questo ambito.

Esatto, la condizione serve ad assicurare che il disco striscia contro la sponda per tutto il tempo (infinitesimo) che rimane in contatto col punto P. Infatti appena giunge sul punto P la velocità secondo x della periferia del disco è diversa da zero e precisamente ; e anche quando il disco rimbalza e si allontana da P si può calcolare che con la condizione data la sua velocità periferica è maggiore di zero e diretta nel medesimo verso della precedente. Se non avessi posto questa condizione le cose sarebbero state leggermente più complicate da immaginare (ma neanche tanto). Ho solo voluto inserire un elemento di relativa semplificazione.

[pascal]

Un’equazione utile deriva dalla conservazione del momento angolare rispetto al punto P.
Infatti la forza d’attrito e la reazione normale della sponda generano nell’urto un momento
delle forze nullo rispetto a P.

[pascal]

Con l'applicazione del suddetto principio trovo

[Falco5x]

Con l'applicazione del suddetto principio trovo

Certamente. Da cui si riscontra il fatto che se , la finale è maggiore di zero, condizione che garantisce la continuità dello strisciamento sul punto P.
Assodata quindi la ragionevolezza della condizione imposta, per giungere a determionare occorre adesso procedere a considerazioni di tipo energetico, cosa che ho fatto anche se con un procedimento che non so quanto sia ortodosso e che vorrei poter discutere nel prosieguo.
A meno che non esista qualche altra via che non ho visto.

[pascal]

Forse il calcolo degli impulsi nelle direzioni x e y,
utilizzando l'elasticità nella direzione y, può essere
percorribile!

[bacco]

Il bowling vi accompagnerà sempre!!!

[Falco5x]

Forse il calcolo degli impulsi nelle direzioni x e y,
utilizzando l'elasticità nella direzione y, può essere
percorribile!

Ci ho provato ma era come il cane che si morde la coda, trovavo sempre due equazioni linearmente dipendenti tra loro e quindi avevo sempre un'incognita di troppo

Il bowling vi accompagnerà sempre!!!

Grazie Maestro Yoda; che le palle siano sempre con te!

[MicroM]

Più che biliardo o di bowling io parlerei di curling