Campo Magnetico

[Meta*]

Che differenza c'è tra la legge di Ampère () e quella di Biot-Savart () per il calcolo del campo magnetico ?
Quando si usa una e quando l'altra ?

Se usando la seconda ho che al centro di un anello di raggio R percorso da corrente il campo magnetico è , usando la prima su una circonferenza interna di raggio r<R il campo magnetico non dovrebbe essere nullo ?

[Eagle]

Ad occhio e croce la legge di Ampére è simile alla legge di Gauss perché ti permette di calcolare il campo magnetico, solo in caso di elevata simmetria del problema, in poco tempo e con pochi conti. La legge di Biot-Savar funziona, invece, per situazioni simmetriche e non, un po' come la legge di Coulomb.

[Ippo]

Se usando la seconda ho che al centro di un anello di raggio R percorso da corrente il campo magnetico è , usando la prima su una circonferenza interna di raggio r<R il campo magnetico non dovrebbe essere nullo ?

per quale motivo?
la legge di Ampere dice che la circuitazione del campo magnetico su una curva chiusa è proporzionale alla corrente che attraversa una (qualsiasi) superficie che abbia come bordo quella curva. Nel tuo caso ottieni che la "componente tangenziale" del campo magnetico sul piano della spira è nulla per ogni r<R, tutti qui. Non ci sono contraddizioni.

[Meta*]

Nel tuo caso ottieni che la "componente tangenziale" del campo magnetico sul piano della spira è nulla per ogni r<R, tutti qui. Non ci sono contraddizioni.

Mi sa che non ho capito
Non è ovvio che sia nulla (sempre) dato che il campo magnetico deve essere perpendicolare al piano su cui si muove la carica ?

[Ippo]

Mi sa che non ho capito
Non è ovvio che sia nulla (sempre) dato che il campo magnetico deve essere perpendicolare al piano su cui si muove la carica ?

Sì appunto, è ovvio, quindi usare Ampere in quel modo non aggiunge nulla di interessante. Ti ho solo detto cosa ottieni con quel ragionamento (e quindi cosa non ottieni).
In particolare NON ottieni nulla sul valore del campo magnetico al centro, dato che lo stai circuitando sulla circonferenza di raggio r...

[Meta*]

Dov'è l'errore ?

[Ippo]

Non c'è nessun errore, è solo che chiami con lettere uguali cose diverse. Se avessi chiamato la componente z del campo magnetico al centro della spira, che hai calcolato con Biot-Savart prima, e la componente tangenziale del campo a distanza r dal centro, che hai calcolato ora ed è nulla, sarebbe chiaro che non c'è nessuna contraddizione.
Se invece chiami tutto B a casaccio e applichi formule alla cieca è evidente che qualcosa non torna

[Meta*]

Non c'è nessun errore, è solo che chiami con lettere uguali cose diverse. Se avessi chiamato la componente z del campo magnetico al centro della spira, che hai calcolato con Biot-Savart prima, e la componente tangenziale del campo a distanza r dal centro, che hai calcolato ora ed è nulla, sarebbe chiaro che non c'è nessuna contraddizione.
Se invece chiami tutto B a casaccio e applichi formule alla cieca è evidente che qualcosa non torna

Quindi c'è una distinzione tra le due formule, una serve per calcolare il campo magnetico tangenziale a distanza r e l'altra una disposizione generica ?
E' questo che chiedevo, pensavo fossero equivalenti
Per quanto detto da Eagle pensavo che entrambe mi dovessero dare il campo magnetico nel centro ma non mi trovavo perchè mancava un

[Pigkappa]

La formula di Biot-Savart implica la legge di Ampère, e la legge di Ampère implica la legge di Biot-Savart. Perciò sono equivalenti.


Non è vero che in generale "una serve per calcolare il campo magnetico tangenziale a distanza r e l'altra una disposizione generica".


È invece vero che usare la legge di Ampère è comodo solo quando ci sono determinate condizioni di simmetria. Per calcolare il campo ortogonale ad una spira al centro della spira stessa con la legge di Ampère, bisognerebbe seguire un procedimento molto complicato che passerebbe sostanzialmente dal dimostrare la legge di Biot-Savart.

Analogamente, la formula di Biot-Savart contiene un integrale che può essere spiacevole da fare, perciò conviene, quando è possibile, fare le considerazioni di simmetria che permettono di usare la legge di Ampère.

[Ippo]

Ma no, non parlavo in generale! xD La relazione generale tra le due leggi è quella che dice Pig.
Io volevo solo spiegarti in questo caso cosa stavi calcolando con l'una e cosa con l'altra, ma forse ho capito male io. Esattamente su quale curva stai applicando Ampere? ti renderai conto che "circonferenza interna" non vuol dire niente se non indichi chiaramente il centro e il piano su cui giace; io ho supposto fosse complanare alla spira e concentrica ad essa, e in questo caso vale quello che ho detto, ma inizio a sospettare che tu intendessi qualcos'altro, tipo una circonferenza centrata su un punto della spira e posta sul piano ortogonale al filo in quel punto...

Se è così (e però potevi dirlo, non è che si capisse molto), il motivo dell'errore è che stai supponendo che B sia uniforme sulla circonferenza, come per esempio nel caso di filo infinito. Ma non è così (è più intenso dentro e meno intenso fuori, così a spanne; la "media" di questi effetti che ottieni integrando ti farebbe tornare i fattori corretti. è evidente che se non conosci già prima il campo, questo non ti aiuterà a trovarlo. In questo caso Biot-Savart è molto più pratico)