... e quest'integrale?
P.S: la prima equazione mi viene da una dimostrazione sul moto armonico, l'integrale dal campo magnetico di un filo di lunghezza
Equazione differenziale
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Eagle
Equazione differenziale
Come posso risolvere questa equazione differenziale?
 + \frac{Eql}{I}=0})
... e quest'integrale?
P.S: la prima equazione mi viene da una dimostrazione sul moto armonico, l'integrale dal campo magnetico di un filo di lunghezza
.
... e quest'integrale?
P.S: la prima equazione mi viene da una dimostrazione sul moto armonico, l'integrale dal campo magnetico di un filo di lunghezza
Re: Equazione differenziale
Le equazioni differenziali nella forma } + ... + a_1 y' + a_0 y + K = 0)
si risolvono:
1)Trovando
(in questo caso 2) soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea } + ... + a_1 y' + a_0 y = 0)
, che dovrebbero essere nella forma 
(cioè sostituisci 
nell'omogenea e trova le soluzioni; se sono meno di , la questione è un po' più complicata.)
2)Trovando una soluzione particolare dell'equazione; ci sono dei metodi (che non ricordo) per cercarla di volta in volta, ma in generale la devi trovare con un po' di ingegno. Nel tuo caso è abbastanza facile trovarla.
3)La soluzione più generale all'equazione è data dalla soluzione particolare più una combinazione lineare delle soluzioni dell'omogenea (quindi la particolare più
).
4)Per determinare i coefficienti
, imponi le condizioni al contorno (velocità e posizione iniziale, ad esempio, o qualcosa del genere).
------------------------------
Per l'integrale, lasciando perdere i metodi standard che non mi ricordo e non sono belli, un trucco che funziona credo sia la sostituzione})
. Se non sai cosa vuol dire 
, prova a guardare http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_iperboliche ...
1)Trovando
2)Trovando una soluzione particolare dell'equazione
3)La soluzione più generale all'equazione è data dalla soluzione particolare più una combinazione lineare delle soluzioni dell'omogenea (quindi la particolare più
4)Per determinare i coefficienti
------------------------------
Per l'integrale, lasciando perdere i metodi standard che non mi ricordo e non sono belli, un trucco che funziona credo sia la sostituzione
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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-
Eagle
Re: Equazione differenziale
Allora... comincio dall'integrale per vedere cosa ho capito. Per evitare confusioni pongo 
nella radice quadrata.
)
dy)
-sinh^2(y)=1)
dy}{\sqrt{a^2(\sinh^2(y)+1)}}=\int_{0}^{\frac{l}{2}}\frac{acosh(y)dy}{a cosh(y)}=\int_{0}^{\frac{l}{2}}dy})
è la prima volta che uso funzioni iperboliche... siate clementi (
)
è la prima volta che uso funzioni iperboliche... siate clementi (
)-
Eagle
Re: Equazione differenziale
Devo invertire gli estremi di integrazione?Ippo ha scritto:occhio agli estremi di integrazione
E' giusto il calcolo?
Re: Equazione differenziale
Se fai un cambio di variabile, devi anche cambiare gli estremi di integrazione. Quando y vale 0, 
vale 0 a sua volta e questo rimane uguale; ma per l'altro estremo bisogna trovare la y per cui 
vale 
(e per farlo devi trovare la funzione inversa di ).
Come vedere se l'integrale è giusto dovresti saperlo: invece dell'integrale definito fai quello indefinito e poi guardi se la derivata della funzione che hai trovato è la funzione integranda.
Come vedere se l'integrale è giusto dovresti saperlo: invece dell'integrale definito fai quello indefinito e poi guardi se la derivata della funzione che hai trovato è la funzione integranda.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Equazione differenziale
Sì, quello è l'estremo di integrazione superiore...
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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Eagle
Re: Equazione differenziale
Nonostante Pigkappa abbia postato dei suggerimenti, non ho capito come risolvere l'equazione differenziale, probabilmente perché è una delle prime che affronto. Sarei infinitamente grato a chiunque mostrasse i singoli passaggi algebrici per giungere alla soluzione.
-
memedesimo
- Messaggi: 43
- Iscritto il: 7 gen 2009, 23:57
Re: Equazione differenziale
Vogliamo trovare la funzione )
che soddisfa alla seguente equazione differenziale:
Questo è facile se tu conosci la soluzione dell'equazione senza la costante, cioè dell'equazione "solita" del moto armonico:
=0})
La soluzione di quest'ultima equazione è=A\sin\left(\sqrt{\frac{mgl}{I}}t\right) +B\cos\left(\sqrt{\frac{mgl}{I}}t\right))
dove 
e 
sono due costanti che vengono scelte dalle condizioni iniziali del tuo problema in modo univoco (cioè dal valore di 
e della sua derivata al tempo zero).
La soluzione dell'equazione da te scritta è quella del caso "solito", più una costante; detta
la costante,
la soluzione della tua equazione sarà della forma:
=A\sin\left(\sqrt{\frac{mgl}{I}}t\right) +B\cos\left(\sqrt{\frac{mgl}{I}}t\right)+K)
che questo sia vero lo puoi intuire dal fatto che la tua equazione differenziale ha la stessa forma di quella che ti esce impostando il problema "peso appeso a una molla al soffitto soggetto ad una gravità costante" (
che è la stessa cosa di 
) e la soluzione
di quest'ultimo problema è la massa che oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio anzichè attorno alla posizione in cui la molla non esercita nessuna forza.
Per determinare la costante basta sostituire la soluzione che ti ho scritto nell'equazione differenziale e ti viene
Forse l'ho fatta un po' troppo lunga per niente ma vabè
Questo è facile se tu conosci la soluzione dell'equazione senza la costante, cioè dell'equazione "solita" del moto armonico:
La soluzione di quest'ultima equazione è
La soluzione dell'equazione da te scritta è quella del caso "solito", più una costante; detta
la soluzione della tua equazione sarà della forma:
che questo sia vero lo puoi intuire dal fatto che la tua equazione differenziale ha la stessa forma di quella che ti esce impostando il problema "peso appeso a una molla al soffitto soggetto ad una gravità costante" (
di quest'ultimo problema è la massa che oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio anzichè attorno alla posizione in cui la molla non esercita nessuna forza.
Per determinare la costante basta sostituire la soluzione che ti ho scritto nell'equazione differenziale e ti viene
Forse l'ho fatta un po' troppo lunga per niente ma vabè