Traiettoria elicoidale

[egl]

Mi è venuta in mente una domanda alla quale non so dare una risposta: il problema, più che di fisica, sembra di matematica, ma dato che le mie conoscenze in questa materia sono praticamente nulle ho deciso di postarlo qui.

Sia data una particella carica che entra in un campo magnetico. Se il vettore velocità è perpendicolare alle linee di campo la particella si muoverà su una circonferenza. La sua posizione proiettata su un piano parallelo alle linee di campo (esterno alla circonferenza) si muove di moto armonico semplice. Suppongo ora che la particella abbia una una componente della velocità parallela al campo magnetico così che percorra una traiettoria elicoidale. Proietto la posizione istante per istante sempre su un piano parallelo al campo. Che traiettoria descrive questa proiezione? (intuitivamente mi sembra una sinusoide, sarebbe come aggiungere alla prima proiezione, quella che si muove di moto armonico, una velocità costante diretta perpendicolarmente alla retta sulla quale si muove).

Penso che un problema del tutto equivalente sia: data la traiettoria elicoidale percorsa dalla particella, che curva è la proiezione della traiettoria su un piano parallelo al campo magnetico?

[AxxMan]

Secondo me è una sinusoide perchè poichè la velocità traslazionale è costante, la posizione della particella a partire dall'istante iniziale è proporzionale al tempo, cioè sul piano su cui fai la proiezione puoi immaginare una retta su cui puoi scrivere i tempi, e intervalli di tempo uguali sono a distanze uguali. Allora tu proiettando la traiettoria credo che sia come se stessi disegnando un'equazione oraria di un moto armonico, cioè proprio una sinusoide

[Pigkappa]

Per scriverla analiticamente, prima ti metti in un sistema di riferimento in cui la componente della velocità lungo le linee di campo è nulla, e poi ritorni al sistema originario. È una sinusoide, perchè in una direzione trovi che x è proporzionale a t, nell'altra che l'andamento di y è e quindi .