Qualcuno può gentilmente illustrare in cosa consiste matematicamente il metodo dei minimi quadrati? Quando si può utilizzare?
Grazie, in anticipo.
Metodo dei minimi quadrati
Re: Metodo dei minimi quadrati
Supponi di avere 
coppie di dati ,\ (x_2, y_2),\ \dots,\ (x_n, y_n))
e di voler cercare la miglior retta  = A x + B)
per fittare questi dati.
Definiamo:
 = \sum_{i=1}^N{(y(x_i) - y_i)^2} = \sum_{i=1}^N{(Ax_i +B - y_i)^2})
Cerca di capire graficamente cosa è C; è la somma dei quadrati delle lunghezze in verde:
Il metodo dei minimi quadrati consiste nel calcolare i migliori A e B minimizzando
.
Per calcolare
e 
esplicitamente, si impone che 
, ma probabilmente non sai cosa vuol dire. Quando in una prova sperimentale delle olimpiadi devi trovare la miglior retta con e entrambi non nulli, conviene che lo fai per via grafica, disegnando i punti e trovando ad occhio la retta migliore.
Se sai già che è zero, e quindi la retta passa per l'origine, la funzione )
è una parabola; quindi il minimo è nel vertice e lo sai calcolare.
Definiamo:
Cerca di capire graficamente cosa è C; è la somma dei quadrati delle lunghezze in verde:
Il metodo dei minimi quadrati consiste nel calcolare i migliori A e B minimizzando
Per calcolare
Se sai già che
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Eagle
Re: Metodo dei minimi quadrati
Allora, vediamo un po' cosa ho capito.
=(y(x_i)-y_i)^2)
è la differenza tra il valore teorico, che esce fuori dalla miglior retta, e il valore reale, che ho trovato nell'esperimento: diciamo, quindi, uno scarto quadratico.
Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori e minimizzando , si fanno le derivate parziali di rispetto e poi di rispetto a , uguagliandole a 0.
C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto
), comunque derivare e uguagliare a 0 ti permette di trovare dove la funzione ha un minimo (es. vertice della parabola).
Poiché consideri nell'equazione della retta due incognite, il coefficiente angolare e l'intercetta, derivi prima rispetto a (considerando costante ) e poi rispetto a (considerando costante ), uguagliando a 0, in modo da trovarti gli e migliori. Non so se è giusto, comunque correggimi se ho scritto eresie.
è la differenza tra il valore teorico, che esce fuori dalla miglior retta, e il valore reale, che ho trovato nell'esperimento: diciamo, quindi, uno scarto quadratico.
Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori
C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto
), comunque derivare e uguagliare a 0 ti permette di trovare dove la funzione ha un minimo (es. vertice della parabola). Poiché consideri nell'equazione della retta due incognite,
Re: Metodo dei minimi quadrati
Di solito alcune calcolatrici con funzioni statistiche una volta inseritiPigkappa ha scritto:Quando in una prova sperimentale delle olimpiadi devi trovare la miglior retta con
Re: Metodo dei minimi quadrati
Penso che vada bene; in una soluzione lo facevano anche loro, mi pare, e non ci vedo nulla di male. E' un metodo furbo per risparmiare tempo e conviene imparare a fare un po' di queste cose con la calcolatrice.fisicorel ha scritto:Di solito alcune calcolatrici con funzioni statistiche una volta inseritie
danno i coefficienti
E' giusto, però non pensare che la cosa si possa generalizzare troppo facilmente e che il massimo o minimo di qualunque funzione in 2 (o più) variabili definita su qualunque insieme si trovi imponendo che le derivate parziali si annullino. Mentre per funzioni di una variabile questa cosa funziona abbastanza bene (almeno finchè la funzione è derivabile e il dominio è un intervallo e ci si ricorda di controllare cosa fa la funzione nei due punti all'estremo dell'intervallo), con più di una variabile la situazione è un po' più delicata (perchè i punti "all'estremo dell'intervallo" non sono 2 ma sono infiniti).Eagle ha scritto:Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori
C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto
Se vuoi scoprire i dettagli cerca i moltiplicatori di Lagrange...
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Eagle
Re: Metodo dei minimi quadrati
Grazie mille, Pigkappa. Comunque ho leggiucchiato qualcosa sui moltiplicatori di Lagrange, ma penso che sia ancora presto ( )
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