La cometa

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 27 dic 2010, 11:16

In tema con l'atmosfera natalizia, propongo questo problema.
Una cometa percorre un'orbita parabolica entrando nel sistema solare, avendo come fuoco il Sole.
Nel suo percorso, intercetta l'orbita terrestre, che si può assumere avente forma circolare e raggio $a$ .
E' noto che il periodo orbitale della Terra è :
$T=\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$ .
Calcolare il tempo $\tau$ che la cometa trascorre all'interno dell'orbita terrestre ed esprimerlo in termini del periodo $T$ della Terra.
Trovare $\tau_{max}$ , il tempo massimo di permanenza del corpo nell'area circoscritta dalla Terra intorno al Sole.

Per non essere troppo cattivo

, un hint:
conviene usare la formula polare della parabola (che poi è quella generica delle coniche)!

Elena94 · Messaggio da **Elena94** » 29 dic 2010, 0:34

Ragazziii!!! Skusate è il primo problema ke cerco di risolvere spero di nn dire cavolate!

Dunkue, l'orbita è una conica, qndi se è una parabola l'eccentricità è 1! Ma l'orbita generika è (penso che una cometa abbia moooolta meno massa del sole!)

$\dfrac{1}{r} = \dfrac{GMm^2}{L^2}(1+e \cos\theta)$ dove e è l'eccentricità, qndi

$\dfrac{1}{r} = \dfrac{GMm^2}{L^2}(1+ \cos\theta)$ .

Poi... il mom. angolare si conserva! Qndi si può scrivere $dt = \dfrac{mr^2}{L}d\theta$ con L costante!!!

Allora $dt = \dfrac{L^3d\theta}{G^2M^2 m^3 (1 + \cos\theta)^2}$ . Però non si sa l'angolo di entrata della cometa... qndi bisogna porre r = a nell'equazione dell'orbita!
$\cos\theta_0 = \dfrac{L^2}{GMm^2 a} - 1$ . Quindi

$T = \dfrac{2L^3}{G^2M^2m^3}\displaystyle\int_0^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{(1+\cos\theta)^2} = \dfrac{2L^3}{G^2M^2m^3}\dfrac{\sin\theta_0 (\cos\theta_0 + 2)}{3(1+\cos\theta_0)^2} = \dfrac{2L^3}{G^2M^2m^3}\dfrac{\sqrt{-\frac{L^4}{G^2M^2m^4 a^2} + \frac{2L^2}{GMm^2 a}}(\frac{L^2}{GMm^2 a} +1)}{\frac{3L^4}{G^2M^2m^4 a^2}} = \dfrac{2}{3}ma^2(\frac{L^2}{GMm^2 a} + 1)\sqrt{-\frac{L^2}{G^2M^2m^4 a^2} + \frac{2}{GMm^2 a}}$ .

Ora devo maximizzare... derivo rispetto a L! Nn penso siano csì impo i passaggi, qndi scrivo direttamente ke a me viene (spero sia giusto...

)
$L = \sqrt{GMm^2 a}$ , ma così il tempo viene

$T = \dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}} = \dfrac{2}{3 \pi} T_e$ .

Spero di nn aver scritto cose sbagliate!!! cmq se voi bravi mi correggete va bnissimo!! altrimenti cm posso prepararmi alla fase provinciale???

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 29 dic 2010, 22:48

Il mio procedimento è analogo

, anche se ci sarebbero un po' di precisazioni da fare, specie per garantire che tutti possano capire i vari passaggi.
Tipo: da dove viene $cos \theta _0$ ?
Buona l'idea di invocare la simmetria della parabola rispetto all'asse per poter fare l'integrale "a metà" e poi raddoppiarne il risultato finale. Osservare le simmetrie di un problema è una mossa che può tornare comoda a livello olimpico (come pure parecchie approssimazioni matematiche).

Comunque è sempre meglio mettere in evidenza certi passaggi che possono non essere così scontati: è un ottimo allenamento per imparare il $\LaTeX$ . E magari usare meno abbreviazioni giovanili, nonostante la giovane età.

pascal · Messaggio da **pascal** » 30 dic 2010, 21:57

Un problema simile era stato già discusso qui: olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=263&hilit=cometa

Messaggio da **Rigel** » 2 gen 2011, 17:02

Il procedimento per ricavare la formula dell'orbita si trova qui http://forumwww.cadnet.marche.it#46;oli ... ?f=15&t=92. non è facile da capire alla prima occhiata, per cui se volete non spaventatevi di doverci lavorare su. purtroppo alcune formule non compaiono, se proprio è incomprensibile ditelo
dalla formula per l'eccentricità si vede anche che il fatto che l'eccentricità di una parabola è 1 è coerente col fatto che l'energia di un'orbita parabolica è nulla.
si potrebbe formulare una domanda bonus (un pò cattiva

):
se la parabola intersecasse l'orbita terrestre in quattro punti, quale sarebbe il tempo massimo di permanenza?

La cometa

La cometa

Re: La cometa

Re: La cometa

Re: La cometa

Re: La cometa