Barche all'inseguimento.

[Pigkappa]

Un motoscafo di trafficanti parte a velocità perpendicolarmente ad una spiaggia, e mantiene sempre quella velocità. La costa è diritta e va in direzione nord-sud. Nello stesso istante, una vedetta della polizia parte da una distanza più a sud dei trafficanti, e si muove con velocità costante in modulo e sempre diretta verso la barca dei trafficanti. Quando la vedetta raggiunge i trafficanti, si trova ad una distanza dalla costa.
Determinare il modulo della velocità della vedetta della polizia.


È un problema facile da capire, e la cui soluzione non richiede conoscenze particolari, ma è cattivissimo .

[f.o.x]

Tanto per curiosità, quanto viene lungo il risultao? Perche a me viene chilometrico

[Pigkappa]

Non me lo ricordo, non è bellissimo... Posta il procedimento e vediamo.

[f.o.x]

Tanto per curiosità, quanto viene lungo il risultao? Perche a me viene chilometrico

No avevo commesso degli errori, ma ho trovato un nuovo "risultato".
La considerazione su cui si basa tutto è che la nave vedetta della polizia percorre 1/4 di circonferenza di raggio a, per poi proseguire nell'inseguimento in un moto rettilineo una volta in coda al motoscafo dei trafficanti. Questa traiettoria è dovuta al fatto che la velocità della nave vedetta è sempre diretta verso il motoscafo, che visto che si muove a velocità costante, farà variare costantemente le componenti di V che varieranno linearmente nel tempo.
Avremo quindi un sistema composta da:
e da
che danno come risultato:

[Pigkappa]

Questa traiettoria è dovuta al fatto che la velocità della nave vedetta è sempre diretta verso il motoscafo, che visto che si muove a velocità costante, farà variare costantemente le componenti di V che varieranno linearmente nel tempo.

Quando con una osservazione apparentemente semplice si trasforma un problema difficile in un problema molto facile, bisognerebbe dimostrarla per bene...

[Loren Kocillari89]

C'è un modo per dimostrare che la traiettoria non è sicuramente circolare all'inizio.
Basta che tu prendi il quarto di circonferenza in cui un estremo è l'origine di un sis. di riferimento mentre l'altro è tangente ad una retta. Ora inizi a proiettare punto per punto dalla tua circonferenza alla retta la posizione della vedetta, che corrisponderà, sulla retta, alla posizione dei trafficanti. noterai che all'inizio, per uno spostamento dx della vedetta sulla circonferenza, corrisponderà un buon spostamento sulla retta dei trafficanti, mentre mano a mano che ti sposti (ad esempio verso destra e cioè verso l'altro estremo) potrai notare che le proiezioni sono sempre più "strette" ed è come se fossero decelerate. Ciò dipende ovviamente dalla pendenza della circonferenza che va dall'infinito a 0, e nel punto più alto avrai che la vedetta coincide con i trafficanti, cioè li ha catturati.
Questo però contraddirrebbe l'ipotesi per cui i trafficanti vanno a velocità costante. Mentre nel modello che hai sviluppato i trafficanti accelerano e decelerano a seconda di dove si trovi la vedetta sulla circonferenza.

[Pigkappa]

Non sono riuscito a seguire il tuo discorso contorto e complicato, ma già qua mi sembra le cose non funzionino:

che corrisponderà, sulla retta, alla posizione dei trafficanti

Comunque, per far vedere che la traiettoria descritta da f.o.x non è quella seguita dalla vedetta, basta considerare il caso . In questo caso mi sembra evidente che la vedetta non fa quella traiettoria.

[Loren Kocillari89]

Non sono riuscito a seguire il tuo discorso contorto e complicato, ma già qua mi sembra le cose non funzionino:

che corrisponderà, sulla retta, alla posizione dei trafficanti

Cioè in che senso? le tangenti prese su ogni punto della circonferenza intersecheranno la retta in punti dove si deve trovare il trafficante, questo ce lo dice l'ipotesi per cui la vedetta(tangente) è sempre rivolta verso il trafficante(punto di intersezione con la retta).

Inoltre volevo chiederti se puoi esplicitare il caso b<<a. non riesco a visualizzarlo bene

[Pigkappa]

Sigh. Provo a spiegare perchè non capisco.

Basta che tu prendi il quarto di circonferenza

"Il" quarto di circonferenza? Immagino che parli di quello descritto da fox, che avrebbe quindi un estremo nel punto in cui parte la vedetta (che chiamo A), l'altro estremo sulla retta su cui si muove la barca dei trafficanti (retta che chiamo r), e che è tangente alla costa in A. Spero di aver capito almeno questa cosa.

un estremo è l'origine di un sis. di riferimento

Quale estremo? Immagino che tu intenda il punto A, ma non lo dici.

mentre l'altro è tangente ad una retta.

L'altro estremo è tangente ad una retta. Ma cosa vuol dire questa cosa? Qualunque punto di una circonferenza è tangente ad una retta: dicendo così non descrivi niente.
Io immagino che intendessi il punto in cui, secondo fox, la vedetta si mette sulla retta r; lo chiamo B da ora in poi.

Ora inizi a proiettare punto per punto dalla tua circonferenza alla retta la posizione della vedetta, che corrisponderà, sulla retta, alla posizione dei trafficanti.

Perchè mai? Se fosse così, ad esempio, avremmo che nel punto B sicuramente la vedetta raggiunge la barca dei trafficanti (perchè B appartiene sia a r che al quarto di circonferenza e quindi la sua proiezione sulla retta è se stesso). Ma non è quello che aveva detto fox.

le tangenti prese su ogni punto della circonferenza intersecheranno la retta in punti dove si deve trovare il trafficante, questo ce lo dice l'ipotesi per cui la vedetta(tangente) è sempre rivolta verso il trafficante(punto di intersezione con la retta).

Questa cosa è diversa da quello che hai scritto sopra! Fare la tangente alla circonferenza e intersecarla con quella retta non vuol dire proiettare i punti della circonferenza sulla retta.
E' vero, comunque, che "le tangenti prese su ogni punto della circonferenza intersecheranno la retta in punti dove si deve trovare il trafficante"; vado perciò avanti supponendo che tu abbia scritto questa cosa nel post iniziale.

noterai che all'inizio, per uno spostamento dx della vedetta sulla circonferenza, corrisponderà un buon spostamento sulla retta dei trafficanti

Se la situazione è quella che ho descritto io qua sopra, non è vero; la circonferenza è tangente alla costa e quindi uno spostamento del 1° ordine della vedetta causa solo uno spostamento del 2° ordine dei trafficanti sulla retta.


Non vado avanti, perchè ormai sono sicuro di non aver capito quello che intendevi.



Comunque, una volta appurato che quella non è la traiettoria, potreste provare a risolvere il problema senza cercare di descrivere analiticamente la traiettoria, perchè penso sia piuttosto difficile (o persino impossibile) farlo.

[AxxMan]

Nel sistema di riferimento inerziale della barca dei trafficanti la vedetta è sempre rivolta verso la barca quindi descrive una traiettoria rettilinea, di lunghezza a, perchè nel primo sistema entrambe le imbarcazioni si sono spostate di un tratto b orizzontale. Allora poichè il tempo impiegato dai trafficanti per arrivare in b è e quello impiegato dalla vedetta è , poichè i tempi sono uguali abbiamo Considerando che Pigkappa diceva che il risultato è brutto ci deve essere qualche considerazione errata però credo di essermi messo sulla strada giusta... Ho capito male il testo e la vedetta parte dalla riva opposta?