Pila di mattoni

[spn]

Si vogliono sovrapporre mattoni di lunghezza in modo da ottenere una pila in equilibrio. Qual'è la massima separazione orizzontale ottenibile fra il centro di massa del mattone più in basso e quello del mattone più in alto?




(Il problema è preso da qui: http://www.df.unipi.it/~cella/ueg/uegbook.pdf, ci sono molti altri problemini carini, anche se in buon numero richiedono analisi da fine liceo/inizio università).

[Rosstheonlyboss]

sn di 3 liceo. è inutile tentarlo??? xD

[Ippo]

sn di 3 liceo. è inutile tentarlo??? xD

non è che sia vietato ai minori, puoi provarci!

[spn]

nono, è fattibile con poche conoscenze di fisica, basta sapere qualche nozione sul centro di massa.
Se non ti viene in mente niente ti do un hint:
Prova a vedere qual'è la massima distanza per casi con N piccolo (tipo N=2,3,4), da lì si capisce abbastanza bene come dovrà essere la formula generale, che però dovrai dimostrare.

[f.o.x]

Posto questo ragionamento, sbagliato, perchè non trovo dev'è l'errore.
Il centro di massa del sistema deve essere compreso nella base d'appoggio. Poniamo ora un sistema di assi cartesiani centrato nel CDM del primo blocco, con l'asse y rivolto verso l'alto e l'asse x verso destra. Il centro di massa del sistema si trova così:
Dato che la massima distanza tra il primo centro di massa e l'ultimo si ha quando è massimo il CDM del sistema, sarà . Quindi .
Questa soluzione è sbagliata perchè impone che il CDM di ogni blocco sia sul bordo del blocco precedente, e questa configurazione non produce equilibrio, ma dovè la falla nel ragionamento?

[spn]

ogni blocco sia sul bordo del blocco precedente

Lo sbaglio dovrebbe essere questo. Per ciascun mattone, si deve avere che il cdm complessivo di tutti quelli sopra di lui deve stargli entro, non solo quello del mattone immediatamente sopra.

[f.o.x]

Per ciascun mattone, si deve avere che il cdm complessivo di tutti quelli sopra di lui deve stargli entro, non solo quello del mattone immediatamente sopra.

Infatti io ho preso il CDM di tutto il sistema e ho imposto che deve essere all'interno della base d'appoggio del primo blocco. L'errore stava nella formula (che ora si vede ) poichè io avevo inteso come la distanza tra il centro degli assi cartesiani e l'ultimo CDM, ma invece questo è la somma di tutte le distanze dei vari CDM dall'origine, quindi devo togliere una certa quantità a per trovare il risultato, che ad occhio direi che è la somma di tutti gli quindi il risultato sarà:


Potrei aver sbagliato perchè vado di fretta, in caso dopo ci penso meglio

[Meta*]

Considerando la dei blocchi al centro dei mattoni, la (che possiamo considerare come quella del mattone centrale) non deve superare la distanza dal centro mentre quello più in alto non supera la distanza dal cdm del primo.. quindi :

Da cui :

Se indico con m il numero del mattone che mi interessa lo spostamento del suo centro di massa rispetto a quello del primo lo posso ricavare scrivendo :
per (ultimo mattone) ottengo
Sistema di riferimento con origine nel cdm del primo mattone

Inutile dire che se il cdm del sistema supera il bordo del primo mattone si ha una rotazione e che per simmetria (essendo la massa distribuita uniformemente) essendo il primo mattone a una distanza L/2 a sinistra del cdm l'ultimo sara a L/2 a destra (o viceversa)

[spn]

@fox: per N=3 si nota facilmente che la distanza massima è 3/2 d, che non sembra andare bene con il tuo risultato.

@Meta*:

mentre quello più in alto non supera la distanza L dal cdm del primo

Ma perchè mai? (da qui il problema sarebbe inoltre già risolto...non ha molto senso dividere per n e moltiplicare per n per far tornare L).

[Meta*]

@Meta*:

mentre quello più in alto non supera la distanza L dal cdm del primo

Ma perchè mai? (da qui il problema sarebbe inoltre già risolto...non ha molto senso dividere per n e moltiplicare per n per far tornare L).

Perche se considero la pila di mattoni come un solido di massa omogenea ho che il cdm si trova al centro e non può uscire fuori dalla base altrimenti si crea un momento e il solido cade (quindi distanza L/2) per simmetria l'ultimo mattone avra lo spigolo a un ulteriore L/2 quindi la distanza massima è L. O no