Terza legge di Keplero

[Gauss91]

Una domanda teorica per rinfrescare le conoscenze .
Keplero formulò la sua famosa "terza legge" in questo modo (più o meno):

Per i pianeti che orbitano intorno al sole, il quadrato dei loro periodi è proporzionale al cubo dei loro semiassi maggiori.

In realtà ciò non è perfettamente vero, ma vale solo approssimativamente. Spiegare.
Sapreste dare un esempio di un sistema fisico in cui valga la terza legge di Keplero in modo esatto?

[Eagle]

Ci provo. La terza legge di Keplero vale solo approssimativamente, perché considera trascurabili le interazioni gravitazionali tra i diversi pianeti (perturbazioni delle orbite) e le masse dei singoli pianeti rispetto al sole. Un sistema fisico in cui la terza legge di Keplero vale sicuramente credo sia il moto di un satellite intorno alla Terra, laddove è palesemente vero che la massa del satellite è di gran lunga inferiore alla Terra e che l'orbita su cui si muove il satellite stesso è circolare.

[Gauss91]

Ok sul primo punto ci hai azzeccato. Anche se quello che volevo dire è che, trascurando le perturbazioni degli altri pianeti, ogni pianeta ha una "costante di proporzionalità" diversa, che dipende dalla sua massa. Trascurando la massa del pianeta rispetto a quella del Sole si ottiene la terza legge nella forma che conosciamo.
Però il secondo punto non è molto preciso: un satellite intorno alla Terra viene perturbato anche dalla distribuzione non sferica della massa della Terra, dalla presenza della Luna e dal campo gravitazionale solare. C'è invece un altro sistema in cui la terza legge di Keplero vale in modo esatto...
Per chiarire meglio le idee si può risolvere questo esercizio: abbiamo due masse e che si muovono sotto la mutua attrazione gravitazionale. La massa descrive, in un sistema di riferimento inerziale, un'orbita ellittica con asse maggiore ed eccentricità . Calcolare il periodo di rivoluzione di tale massa.

[Eagle]

Non ne sono sicuro, ma il sistema fisico a cui fai riferimento nell'esercizio proposto se non sbaglio si chiama sistema binario, dove il periodo di rivoluzione è:



Ho ipotizzato per semplificare che le due masse si muovano su circonferenze concentriche attorno al loro centro di massa.

[Gauss91]

La massa descrive, in un sistema di riferimento inerziale, un'orbita ellittica con asse maggiore ed eccentricità

.

Mai detto che si tratta di un'orbita circolare!