Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da **Rigel** » 18 ott 2010, 19:40

Volendo si può anche calcolare la densità delle particelle senza trascurare il campo indotto.
se chiamo $\rho$ il n° di particelle per unità di volume, $E_x$ il campo indotto (preso positivo se concorde con quello del condensatore) ho queste tre equazioni:
$\displaystyle \frac{d\rho_+}{dx}=\frac{q\rho_+}{kT}(E+E_x) (1)$
$\displaystyle \frac{d\rho_-}{dx}=-\frac{q\rho_-}{kT}(E+E_x) (2)$
$\displaystyle q(\rho_+-\rho_-)=\epsilon_0\frac{dE_x}{dx} (3)$
la 1 e la 2 vengono dal primo punto del problema di partenza, mentre la 3 sarebbe il teorema di Gauss in forma differenziale ed è l'idea alla base del punto 4.
sommando 1 e 2 si ha
$\displaystyle \frac{d}{dx}(\rho_++\rho_-)=\frac{q}{kT}(E+E_x)(\rho_+-\rho_-)=\frac{\epsilon_0}{kT}(E+E_x)\frac{dE_x}{dx}$
integrando rispetto a $\rho_++\rho_-$ e rispetto a $E_x$ si ha
$\displaystyle \rho_++\rho_-=\frac{\epsilon_0E}{kT}E_x+\frac{\epsilon_0}{2kT}E_x^2+c (4)$
sottraendo 1 e 2 e usando 3 e 4 si ottiene
$\displaystyle \frac{d}{dx}(\rho_+-\rho_-)=\frac{q}{kT}(\rho_++\rho_-)(E+E_x)$
$\displaystyle \frac{d^2E_x}{dx^2}=\frac{q^2}{2k^2T^2}(E+E_x)(E_x^2+2EE_x+\frac{2kT}{\epsilon_0}c)$
questa sembra un'equazione differenziale difficilmente risolvibile, ma nell'approssimazione $E_x<<E$ da il risultato col coseno iperbolico

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 25 ott 2010, 0:07

Nella formula 3) ovviamente avresti voluto scrivere $\rho$ (densità elettrica)? P.s. Nell'ultimo passaggio, se e quando hai voglia ti va di esplicitare l'ultimo passaggio? A me viene una funzione seno/coseno a prima vista..

Messaggio da **Rigel** » 27 ott 2010, 10:01

Loren Kocillari89 ha scritto:Nella formula 3) ovviamente avresti voluto scrivere $\rho$ (densità elettrica)? P.s. Nell'ultimo passaggio, se e quando hai voglia ti va di esplicitare l'ultimo passaggio? A me viene una funzione seno/coseno a prima vista..

No perchè c'è q che moltiplicata per la densità dà la densità elettrica.
l'ultimo passaggio non l'ho esplicitato perchè non so risolvere un'equazione differenziale del genere...magari esiste qualche programma che lo fa.
comunque non credo che vadano bene seno o coseno, perchè così nell'ultima equazione avresti $-\sin ax$ a sinistra e qualcosa che ha come grado massimo $\sin^3ax$

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 27 ott 2010, 12:32

Rigel ha scritto:No perchè c'è q che moltiplicata per la densità dà la densità elettrica.

Ah ok, mi era venuto il dubbio xkè pensavo fosse una specie di $q=f(\rho)$ ..

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