Area anello infinitesimo

[Gia91]

Sarà anche una stupidaggine colossale, ma non riesco a capire perfettamente:

Il problema è quello di calcolare il campo elettrico sull'asse di un dico carico uniformemente.
Per calcolarlo posso usare il risultato noto del campo prodotto sull'asse di un anello, quindi considerare il disco come tanti anelli infinitesimi e poi integrare da 0 a R (essendo R il raggio del disco).
Trovo l'esempio svolto sul Tipler, e mi dice di considerare in generale l'anello di raggio e spessore .

"L'area di questo anello è "
Mi chiedo, perchè?

Non dovrebbe essere
?

Stessa cosa in un altro problema in cui chiede il campo prodotto da una sfera con . Mi suggersice di considerare strati sferici di volume

[MrTeo]

Sarà anche una stupidaggine colossale, ma non riesco a capire perfettamente:
Non dovrebbe essere
?

Già ma è per sua stessa natura infinitesimo, quindi il termine si può trascurare, ottenendo appunto

[.mg]

Sarà anche una stupidaggine colossale, ma non riesco a capire perfettamente:

Il problema è quello di calcolare il campo elettrico sull'asse di un dico carico uniformemente.
Per calcolarlo posso usare il risultato noto del campo prodotto sull'asse di un anello, quindi considerare il disco come tanti anelli infinitesimi e poi integrare da 0 a R (essendo R il raggio del disco).
Trovo l'esempio svolto sul Tipler, e mi dice di considerare in generale l'anello di raggio e spessore .

"L'area di questo anello è "
Mi chiedo, perchè?

Non dovrebbe essere
?

Diciamo di sì, ma è trascurabile rispetto a (tieni presente che il termine è una microscopica variazione, al quadrato è ancora più piccola) quindi ti rimane . Lo stesso discorso vale per gli strati sferici. Usando gli integrali queste approssimazioni vengono molto più naturali (e anche in modo più rigoroso), ma spero che queste considerazioni sulle variazioni siano sufficienti a capire

Piccola curiosità: si possono ottenere le formule e partendo da
e e differenziando rispetto a . Questo procedimento vale solo per la circonferenza e la sfera e non credo che abbia una qualche spiegazione matematica, è solo un utile trucchetto mnemonico

Edit: anticipato da MrTeo ma avevo già scritto
Altro edit: pensandoci meglio, forse il trucchetto della differenziazione non funziona solo con cerchi e sfere e ha anche una spiegazione matematica, rimane il fatto che per cerchi e sfere funziona

[Gia91]

Lo sospettavo! Grazie 1000 ora tutto è più chiaro!

[Spammowarrior]

il trucchetto della differenziazione sta nel fatto che quelle formulazze si dimostrano (anche) con gli integrali

[Pigkappa]

Piccola curiosità: si possono ottenere le formule e partendo da
e e differenziando rispetto a . Questo procedimento vale solo per la circonferenza e la sfera e non credo che abbia una qualche spiegazione matematica, è solo un utile trucchetto mnemonico


Altro edit: pensandoci meglio, forse il trucchetto della differenziazione non funziona solo con cerchi e sfere e ha anche una spiegazione matematica, rimane il fatto che per cerchi e sfere funziona

Altrochè se ha una spiegazione... Quando si ha una funzione e se ne vuole calcolare la variazione passando da a si ha sempre . Ci sono molti modi per vederlo... Se vogliamo andarci pesante, lo sviluppo di Taylor al primo ordine è da cui quella relazione (che bisogna sicuramente ricordare e capire, anche a livello di Olimpiadi!).
Se non vogliamo andarci pesante, è semplicemente un modo di riscrivere la definizione di derivata

[.mg]

Altrochè se ha una spiegazione... Quando si ha una funzione e se ne vuole calcolare la variazione passando da a si ha sempre . Ci sono molti modi per vederlo... Se vogliamo andarci pesante, lo sviluppo di Taylor al primo ordine è da cui quella relazione (che bisogna sicuramente ricordare e capire, anche a livello di Olimpiadi!).
Se non vogliamo andarci pesante, è semplicemente un modo di riscrivere la definizione di derivata

Mi sono accorto della stupidaggine che avevo scritto dopo aver inviato il messaggio

Mi ero confuso con il fatto che la lunghezza di una circonferenza e la superficie di una sfera si possono ottenere derivando rispetto al raggio le formule rispettivamente per l'area del cerchio e il volume della sfera (e questo sì che non è un metodo generale ma solo un trucchetto (dalla dubbia utilità), per esempio con quadrato e cubo non funziona).