Rigel ha scritto:forse si può dimostrare che il moto raggiunge effettivamente queste condizioni di regime (anche se le equazioni mi sembrano un pò brutte) ma quando lo dice il testo non pensa sia il caso
Sì, ovviamente non era richiesto e non è della gran bella matematica, ma insomma, giusto per cultura generale...
Le equazioni del moto assumono la forma (se ho capito bene la disposizione delle varie cose, ma forse è un'ipotesi falsa)
che scritta in componenti, prendendo l'asse x orizzontale (nel foglio), quello y verticale (nel foglio) e quello z uscente dal foglio, diventa:
che possiamo riassumere con formalismo vettoriale, detto
)
(ci riduciamo al moto bidimensionale visto che l'equazione per z(t) è banale), nel modo seguente:
dove
)
e
)
per comodità.
La soluzione particolare si ha prendendo
costante, ed è quindi data da
ovvero
(nota: la matrice M è invertibile a meno che sia beta sia B siano nulli, nel qual caso il problema è idiota);
per la soluzione dell'omogenea si ha
Tentiamo il solito approccio
sperando di trovare un
(complesso) che soddisfi l'equazione. Si ottiene:
da cui
 \vec v_0=\vec 0)
(I è la matrice identità)
Per ammettere soluzioni non banali (cioè
) il determinante della matrice deve annullarsi, cioè si deve avere
^2+{e^2 B^2 \over m^2}=0 \Rightarrow \omega_{1,2}=-{\beta \over m} \pm i {eB \over m})
Segue (non determiniamo la forma che deve avere
, non ci interessa esplicitamente) che la soluzione generale dell'omogenea ha la forma
=e^{-\beta t \over m} \left( \vec v_{0,1} \cos(eBt/m)+\vec v_{0,2}\sin (eBt/m) \right))
dove notiamo il coefficiente di smorzamento esponenziale dipendente dall'attrito viscoso.
Conclusione: il moto, dopo un tempo nell'ordine di
, si stabilizza sulla soluzione "a regime" di moto uniforme (cioè la soluzione particolare dell'inomogenea trovata prima), indipendentemente dalle condizioni iniziali assegnate.
e secondo me anche il più carino