Muovendosi su orbite di raggio differente i due corpi si spostano con velocità angolari diverse, calcolabili con un approccio dinamico:
-per il corpo più esterno
con raggio orbitale
si ha
^3}}})
;
-per il corpo più interno di massa
con raggio orbitale
si ha
^3}}})
.
La differenza tra queste velocità angolare e quella
propria dell'orbita di raggio
è:
-per
:
^3}}}-1\right)})
Si noti che
quindi questa differenza è negativa;
-per
:
^3}}}-1\right)})
.
In questo caso invece
, quindi
.
Se poi si innalza la velocità del corpo 1 a
, lasciando invariata l'orbita, per garantire la stabilità bisogna aggiungere una forza extra che compensi l'incremento della forza centrifuga (che compare se ci si mette in un sistema non inerziale). Da queste considerazioni si ha:
(\omega_0 ^2-\omega_1 ^2)=GMm\displaystyle{\frac{(R+r)^3-R^3}{R^3(R+r)^2}})
.
Questo è anche il modulo della forza extra che deve essere esercitata per mantenere il corpo in moto sulla traiettoria iniziale pur avendone incrementato la velocià angolare.
Questa forza deve essere diretta verso l'interno in direzione radiale.
Per il corpo 2 invece si ha una riduzione di velocità, che comporta la necessità di una forza di controllo stavolta diretta verso l'esterno, in direzione opposta alla linea che porta da m2 al corpo di massa maggiore M.
Essa vale:
(\omega_0 ^2-\omega_2^2)=GMm\displaystyle{\frac{(R-r)^3-R^3}{R^3(R-r)^2}})
.
Queste sono considerazioni utili per il punto successivo. Se i due pianeti sono a contatto, il punto di giunzione deve muoversi a velocità
. Avendo questo punto una velocità angolare
allora anche i centri di massa di
e
si spostano alla medesima velocità angolare.
Quindi sono necessarie quelle forze di contenimento sopra analizzate per garantire l'equilibrio del sistema. Questa azione deriva dall'interazione gravitazionale tra il corpo 1 e quello 2, che dà:
.
Osservando le direttrici di
si osserva che questa forza gravitazionale deve essere almeno uguale se non maggiore rispetto a
e
.
Dunque si impone:
e
.
Sviluppare la seconda disuguaglianza non porta a nulla di interessante (ci dice solo che il rapporto tra una massa e un quadrato di distanza deve essere maggiore di una certa quantità negativa -cosa ovvia-). La prima diseguaglianza ci offre uno spunto di riflessione più importante:
^3-R^3]}{R^3(R+r)^2}})
}{R^3(R+r)^2}})
}}{R^3(R+r)^2} })
.
Semplifichiamo il termine a destra tra parentesi, ricordando che
^2}})
^2}})
Approssiamiamo anche qui ottenendo:
.
Questa è (o dovrebbe essere) la disuguaglianza cercata.
Se poi assumiamo che i tre corpi in gioco abbiano la stessa densità media allora le loro masse sono (approssiamandoli a delle sfere):
.
Sviluppando la disuguaglianza di sopra con queste nuove idee si arriva a:
^{1/3} R_0)
.
Questo significa che la distanza a cui si possono formare satelliti o anelli intorno ad un certo corpo celeste è determinata dalle dimensioni e dalla massa del pianeta in questione, oltrechè dagli stessi parametri delle particelle o degli oggetti che orbitano intorno ad esso. Se però questi hanno origine comune a quella del pianete (composizione molto simile, densità praticamente identica) allora questa distanza ideale dipende solo dalle dimensioni del corpo celeste maggiore, il nostro M.
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
.