Il 2012 si avvicina

[spn]

Visto che siamo anche in un periodo di stelle cadenti

Un meteorite sferico di raggio , densità uniforme , composto da un materiale con calore latente di fusione , si stà avvicinando alla Terra. Facendo un modello approssimato, consideriamo l'atmosfera come un guscio di altezza in cui la densità dell'aria varia con l'altezza secondo dove k è una costante. In questo guscio il meteorite viaggia ad una velocità molto elevata. Si considerino elastici gli urti fra il meteorite e le molecole dell'atmosfera, e si trascuri il cambiamento di velocità del meteorite in essa. Se si è certi che tutto il meteorite si fonda prima di arrivare sulla Terra allora questo è considerato ''innocuo''. Si stimi il raggio minimo di un meteorite NON innocuo.

Dati numerici: (probabilmente sbagliati visto che il problema me lo sto inventando)

[Gauss91]

Mi propongo di calcolare la forza frenante che agisce sul meteorite.
Si consideri la direzione del meteorite come il suo asse. Si consideri un anello sottile sulla superficie del spessore s, con centro sull'asse del meteorite, tale da sottendere un angolo infinitesimo, ad una distanza angolare dall'asse del meteorite.

Una massa dm molto più piccola di quella del meteorite urta a velocità v contro tale anello. L'urto è perfettamente elastico. Considero solo la componente della variazione della quantità di moto della massa urtata parallela alla velocità del meteorite, perché la componente perpendicolare è annullata da un'altra massa dalla parte diametralmente opposta. La massa arriva a velocità v e rimbalza sempre a velocità v con un angolo rispetto alla direzione di partenza. E'
, ed essendo , dove dp è la variazione della quantità di moto del meteorite, si ha
(1).

L'area infinitesima dA dell'anello è

La massa che colpisce l'anello nell'unità di tempo è
.
Sostituendo nella (1) si ha
.

Integrando si ha
.

Bisogna ora trovare il massimo percorso percorribile dal meteorite in atmosfera: la sua traiettoria deve essere tangente alla Terra. Il meteorite arriverà quindi con un angolo
rispetto alla verticale.
Il lavoro compiuto da F sul meteorite in questo percorso è il massimo che l'aria può compiere sul corpo. Per renderlo "innocuo", deve essere .



da cui (trascurando la perdita di energia potenziale)
.

Con i dati a disposizione e prendendo per l'angolo massimo di entrata, si ottiene che il minimo R per cui il meteorite non è innocuo è R = 1950 m.
Decisamente troppo! O ho sbagliato io o i dati di partenza sono improbabili

[spn]

Allora, per calcolarsi la forza si può fare in vari modi. Facendo i conti viene un'integrale brutto che con un pò di pazienza si può risolvere. Sennò si possono fare delle approssimazioni . Comunque nei tuoi calcoli mi pare che hai sbagliato la .

Per il lavoro invece non ho proprio capito che passaggi fai. Io direi che la differenza di energia potenziale si può proprio trascurare. Inoltre non ho capito perchè ti calcoli il lavoro massimo che può fare l'atmosfera...se un meteorite non arriva sulla Terra in questo caso non è detto che non ci arrivi quando il lavoro fatto dall'atmosfera è minimo, quindi non è innocuo.
A me risulta una stima di circa 236 metri.

[Gauss91]

Ovviamente l'energia potenziale è trascurabile infatti non l'ho inclusa nel conto finale (ho editato la scritta "trascurando l'energia potenziale!"
Comunque hai perfettamente ragione... più che il lavoro massimo avrei dovuto calcolare il lavoro minimo! Che si ha quando il meteorite cade perpendicolarmente e in tal caso, correggendo i calcoli, mi viene 189m.
Ma perché è sbagliata dA? il raggio di quell'anello è , lo spessore è ...

[spn]

Ok, allora nella prima parte ti sei sbagliato a scrivere pure il , che dovrebbe venire . Come hai scritto te dovrebbe infatti venire che quando e quando , mentre è il contrario.
Poi lo spessore non è , che è diretto lungo la tangente, ma la sua proiezione lungo il piano del'anello, ossia .
Secondo me per vederlo meglio è conveniente derivare l'area del cerchio delimitato dalla circonferenza esterna dell'anello, ossia:



è la differenza di area tra i due cerchi formati variando di poco , percui è proprio l'area dell'anello che ci interessava.

Inoltre nella seconda parte stai considerando che la forza rimane uguale, ma il raggio del meteorite diminuisce (supponiamo in modo uniforme) mentre si sta fondendo. Supponiamo infatti che il materiale che si fonde viene immediatamente disperso.

[.mg]

Mi piace questa matematica creativa
Mi potreste spiegare il senso delle seguenti formule (parlo dal punto di vista matematico, non fisico anche perché mi ci sono perso):

.
Sostituendo nella (1) si ha
.

Integrando si ha
.

Togli sin da subito le cattive abitudini in analisi (come non mettere il differenziale nell'integrale ) non può che fare bene

[Gauss91]

@.mg
Lascia perdere che ho fatto un po' di pasticci con la quantità di moto che mi è venuto un - al posto di un + (come ha correttamente notato spn), ma non riesco a capire il perché di questa tua uscita palesemente ironica.
L'integrale che ho scritto e mi hai citato ok, ha degli estremi di integrazione un po' arditi e ho saltato il passaggio di sostituzione, ma è fondamentalmente corretto (intendo dal punto di vista di calcolo, non per la formula in sé che come si è detto è sbagliata) perché è in differenziale , che ovviamente va da a , se guardi l'espressione che ho scritto prima.
Se poi hai qualcosa da correggermi sono il primo a volerlo sapere e a trarne beneficio, e l'ultimo a poter dire di essere davvero bravo, quindi spiega cosa ho sbagliato!

P.S.: per l'integrale ho usato wolfram.

[.mg]

.

Stai uguagliando una quantità finita (una derivata) a quantità infinitesime, è una cosa formalmente sbagliata (e questo errore si trasmette a tutte le formule seguenti). Questo comporta anche l'insensatezza dell'integrale, non esiste un integrare di dp/dt (rispetto a quale variabile? è come , non ha senso scritto così), era a questo che mi riferivo.

È importante stare attenti a queste cose, sono errori da un punto di vista formale, ma se non ci si abitua a evitarli dall'inizio più avanti gli errori formali diventano errori più gravi

[Gauss91]

Ah ok perfetto adesso ho capito. Effettivamente è una cosa che spesso si fa con leggerezza. Sarebbe meglio scrivere oppure come si fa per far capire che quello è il flusso di massa (quindi dm/dt) ma in un'area infinitesima dA? (effettivamente ci va il cos\alpha, in linea con la definizione di flusso).

Ma poi permettimi anche di controbattere... si è sempre sicuri che una derivata sia una quantità finita e non infinitesima? Per esempio se , dove dy è una certa quantità infinitesima costante, è , che è infinitesima (anche se ovviamente la "parte" di funzione derivata, cioè 2x, è finita). Insomma se la funzione è infinitesima mi azzarderei a dire che la sua derivata PUO' essere infinitesima.
Con il dm/dt di prima è lo stesso discorso: essendo , ed essendo il flusso una funzione infinitesima in dA (con dA costante), la derivata dM/dt = flusso è infinitesima... ancora una volta una funzione infinitesima (a rigore M è infinitesima dato che è calcolata su un flusso infinitesimo) derivata, dà una derivata infinitesima.
O sono ragionamenti campati in aria?

[.mg]

Ah ok perfetto adesso ho capito. Effettivamente è una cosa che spesso si fa con leggerezza. Sarebbe meglio scrivere oppure come si fa per far capire che quello è il flusso di massa (quindi dm/dt) ma in un'area infinitesima dA? (effettivamente ci va il cos\alpha, in linea con la definizione di flusso).

Sinceramente non saprei come esprimerlo, forse potrebbe andare bene se la velocità è costante (ma non sono sicuro di ciò).

Ma poi permettimi anche di controbattere... si è sempre sicuri che una derivata sia una quantità finita e non infinitesima? Per esempio se , dove dy è una certa quantità infinitesima costante, è , che è infinitesima (anche se ovviamente la "parte" di funzione derivata, cioè 2x, è finita). Insomma se la funzione è infinitesima mi azzarderei a dire che la sua derivata PUO' essere infinitesima.

Quella f che hai definito tu è una forma differenziale, non una normale funzione (non ha valori in R ma in uno spazio diverso, ma non vado oltre perché non c'è bisogno di complicare ulteriormente le cose), il coefficiente è una funzione.

Con il dm/dt di prima è lo stesso discorso: essendo , ed essendo il flusso una funzione infinitesima in dA (con dA costante), la derivata dM/dt = flusso è infinitesima... ancora una volta una funzione infinitesima (a rigore M è infinitesima dato che è calcolata su un flusso infinitesimo) derivata, dà una derivata infinitesima.
O sono ragionamenti campati in aria?

Il differenziale di una funzione di una variabile è uguale alla derivata di rispetto a per il differenziale della variabile rispetto a cui si deriva:

Per dirla in parole povere, se c'è un differenziale a destra c'è un differenziale anche a sinistra, tu invece hai posto una derivata uguale a una certa funzione per un differenziale.
Come ho già detto, le forme differenziali hanno come codominio uno spazio diverso da quello dei numeri reali, come invece è per le derivate, quindi stai uguagliando elementi di spazi diversi