Pallone che si sgonfia

[Ippo]

Un po' di termodinamica!

Prendiamo un pallone sferico e ci facciamo un piccolo buco, diciamo che occupi una frazione della superficie totale. Assumiamo che non esploda e che non succeda nulla di strano: si sgonfia lentamente, assumiamo a temperatura costante e mantenendo la forma sferica. Ipotizziamo anche che il buco sottenda sempre lo stesso angolo solido (cioé che rimanga costante).

Determinate il raggio del pallone in funzione del tempo. Potete fate le ipotesi che vi sembrano più ragionevoli. Buon divertimento!

[Ippo]

Io inizierei modellizzando il pallone come una bolla con una certa tensione superficiale (energia, in questo caso elastica, immagazzinata per unità di superficie - è un'approssimazione sensata se pensiamo al pallone come ad una serie di punti-massa collegati da molle: l'allungamento delle molle è proporzionale al raggio del pallone, quindi l'energia è proporzionale a r^2, cioè alla superficie). Questo determina una certa pressione aggiuntiva rispetto a quella atmosferica. Segue che inizialmente la densità dell'aria dentro il pallone è maggiore di quella esterna, e che quindi dal foro esce più aria di quanta ne entra. Questo causa lo sgonfiamento.
In ogni caso non c'è nessuna soluzione "ufficiale", potete fare un po' quello che volete

[Gauss91]

Riesumo questo vecchio problema, sperando che le mie nuove conoscenze mi servano a qualcosa!

Innanzitutto do i dati che userò: : pressione interna del pallone, , pressione atmosferica, coefficiente di tensione superficiale del pallone, che dipende solo dal materiale e dallo spessore del pallone, costante dei gas perfetti, temperatura dell'aria (che suppongo costante e uguale alla temperatura interna del pallone), raggio del pallone, raggio INIZIALE del pallone, area del foro praticato, peso molecolare dell'aria.

Sia la tensione superficiale del pallone. Allora la pressione interna p sarà
.
Inoltre, applicando l'equazione di stato dei gas perfetti, vale
.

Quindi (1)

La pressione esterna al pallone, appicando l'equazione di Bernoulli al flusso di aria, è
, dove v è la velocità di uscita dell'aria. Per continuità, deve aversi in ogni momento
da cui (2).

Sempre a livello del foro praticato, la portata di massa d'aria sarà
(3).

Ma, dalla (1), è

Essendo e sostituendo nella (3) l'espressione di v trovata nella (2), quella di A appena detta, e quella di dn prima trovata, si ottiene

(4).

Per evitare espressioni brutte così, pongo , poi , e infine .

L'equazione (4) diventa così magicamente




(5).

Siccome è un'equazione di terzo grado, è possibile ottenere (metodo di Cardano) la legge oraria r(t) in forma esplicita. Tuttavia mi limito a dire che l'equazione risolvente è la (5)... non so chi abbia abbastanza buona volontà da risolverla, ma quello non sono io!

PRECISAZIONE: questo modello ovviamente non vale sempre: ad un certo punto, il pallone raggiungerà un volume tale che le sue pareti non esercitano più alcuna tensione all'interno. Questo punto dipenderà, come si è detto, dal materiale del pallone e dal suo spessore. A quel punto il pallone rimarrà fermo, e in un intorno abbastanza piccolo di quel punto, il modello suddetto non vale più.

[Ippo]

Avevo completamente rimosso dalla memoria questo problema
a suo tempo ci avevo fatto dei conti ma non li ricordo assolutamente.
Non mi è chiaro cos'è , a rigore dovrebbe essere la pressione atmosferica no? In base a come la usi direi che è semplicemente la pressione interna .
Comunque grosso modo l'idea era le stessa. E in contazzi finali puoi risparmiarteli, tranquillo
chiaramente è un modello molto semplificato, valido nel migliore dei casi solo all'inzio dello sgonfiamento.

[Gauss91]

Io con , proprio per distinguerla da p_0, la pressione atmosferica, ho indicato la pressione che si misurerebbe alle immediate vicinanze del foro praticato. Essa vale, per l'equazione di Bernoulli,

Ovviamente questa è uguale alla pressione interna p, ma l'ho scritta diversamente perché in fin dei conti si misura in posti diversi. E' solo una distinzione mentale per chiarezza... ha senso?

[.mg]

Siccome è un'equazione di terzo grado, è possibile ottenere (metodo di Cardano) la legge oraria r(t) in forma esplicita. Tuttavia mi limito a dire che l'equazione risolvente è la (5)... non so chi abbia abbastanza buona volontà da risolverla, ma quello non sono io!

Immagino che con "metodo di Cardano" intendi la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. In questo caso, la formula non ti dice che l'equazione possa essere esplicita rispetto a , per affermare ciò dovresti applicare il teorema delle funzioni implicite (conosciuto solo in Italia come "teorema del Dini"). Esempio banale (che viene sempre proposto in questi casi): è una equazione di secondo grado in , ma non riesci a esplicitare come un'unica funziona (monodroma) in tutti i punti, eppure si tratta di una semplicissima equazione di secondo grado.

Morale della storia, non ti devi preoccupare se non riesci a esplicitare , magari è proprio impossibile (devi controllare se sono soddisfatte le ipotesi del teorema del Dini)

[Pigkappa]

Io eviterei di tirare in ballo teoremi avanzati di Analisi quando non è strettamente necessario. C'è il rischio che qualcuno pensi "Oh che bello, posso studiare il teorema delle funzioni implicite per risolvere queste equazioni", che provi a leggere l'articolo di Wikipedia e che si riempia la testa di confusione. Una comprensione intuitiva di queste cose è più che sufficiente.

[.mg]

Io eviterei di tirare in ballo teoremi avanzati di Analisi quando non è strettamente necessario. C'è il rischio che qualcuno pensi "Oh che bello, posso studiare il teorema delle funzioni implicite per risolvere queste equazioni", che provi a leggere l'articolo di Wikipedia e che si riempia la testa di confusione. Una comprensione intuitiva di queste cose è più che sufficiente.

Volevo far capire a Gauss91 che il solo fatto che l'equazione sia risolvibile non implica che possa essere esplicitata, provando anche a consolarlo del fatto che non era riuscito a farlo

Non era certo mia intenzione creare confusione (ma se l'ho fatto chiedo scusa ), se non fosse stato necessario per chiarire la questione non avrei certo tirato in ballo il teorema del Dini

[Gauss91]

ok hai fatto bene a precisarlo .mg. Effettivamente non conosco il teorema del Dini e purtroppo non so neanche cosa sia una funzione monodroma, ma sicuramente non sarei mai andato a vedere queste cose su wikipedia!
In ogni caso quello che più premeva a me era il fatto che il problema potesse considerarsi sostanzialmente risolto. Penso che il procedimento risolutivo e il risultato finale siano più importanti delle manipolazioni algebriche che lo definiscano meglio. Sottintendo: AL MIO LIVELLO DI CONOSCENZE (tutto meno che universitario).

[Rigel]

sinceramente il fatto che si possa applicare Bernoulli all'aria in uscita mi sembra un pò strano. dentro è più densa, mentre quando esce fuori è come se si espandesse (anche se questo non ci interessa) e quindi diminuisce di densità...quindi in questo caso l'aria non si può proprio considerare incompressibile.
piuttosto io avevo pensato di considerare il volume di aria che esce nell'unità di tempo e quello che entra. questi due volumi sono uguali, ma l'aria dentro il pallone è più densa e quindi se ne vanno più molecole di quelle che entrano. con questo modello la derivata temporale del numero di moli è proporzionale alla differenza di pressione tra interno ed esterno e non alla sua radice