"Buoni" e "cattivi" orologi

.mg · Messaggio da **.mg** » 27 giu 2010, 15:57

Le forze fittizie non si presentano solo nel caso di sistemi di riferimento in moto accelerato, ma anche quando si utilizzano "cattivi" orologi. Vi propongo un esercizio preso dal libro Relatività. Principi e applicazioni di Vincenzo Barone (l'esercizio però non ha a che fare con la teoria della relatività, basta usare la seconda legge di Newton).

Supponiamo di avere due orologi, uno dei quali misura il tempo vero $t$ (cioè il tempo rispetto al quale, in un sistema inerziale, il moto di una particella libera appare uniforme), mentre l'altro misura un tempo $\tau$ diverso da $t$ . Si mostri che a un osservatore che usa $\tau$ come tempo il moto di una particella di massa $m$ libera in un sistema inerziale appare soggetto a una forza fittizia

$\displaystyle \boldsymbol{F}_f = -m\frac{\dfrac{\mathrm{d}^2\tau}{\mathrm{d} t^2}}{\left(\dfrac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d} t}\right)^2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{x}}{\mathrm{d}\tau}$

È interessante inoltre osservare che la forza fittizia è assente quando $\tau$ è legato a $t$ da una relazione lineare, cioè del tipo $\tau = at + b$ con $a$ e $b$ costanti. Per $a=1$ e $b \neq 0$ si ha semplicemente una traslazione dei tempi e questo non comporta alcun problema, se $a$ è diverso da 1 (e ovviamente da 0) si ha solo una diversa velocità (sempre costante) per la particella, ma non c'è bisogno di introdurre una forza fittizia

Messaggio da **Ippo** » 27 giu 2010, 17:14

Carino!

ci vuole un po' di calcolo differenziale però, in particolare la "chain rule":
${df \over d \tau}=\left( {d t \over d \tau } \right) {d f \over d t}$
(che in realtà non è altro che la regola di derivazione per funzioni composte: $[f(t(\tau))]'=f'(t(\tau)) t'(\tau)$ )

Tra l'altro questo problemino illustra un concetto molto profondo, quanto le cose che chiamiamo forze siano in realtà legate al modo in cui misuriamo le cose (distanze e tempi), cioé alla "metrica" dello spaziotempo. Quando sentite parlare di "curvatura dello spaziotempo" in realtività generale, si allude a cose del genere (per quanto ovviamente in termini molto diversi)

.mg · Messaggio da **.mg** » 28 giu 2010, 0:20

In realtà per arrivare al risultato chiesto dal libro conviene usare la "trasformazione inversa":

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\tau} \implies \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\tau} = \left(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\right)^{-1}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$

ma l'intuizione è corretta!

Messaggio da **Ippo** » 28 giu 2010, 13:52

...che è la stessa cosa finché si ha ${1 \over dt / d\tau}={d \tau \over dt}$ , che è vero per funzioni "buone"

Carmelo · Messaggio da **Carmelo** » 29 giu 2010, 18:26

Allora, sappiamo che il moto nel sistema inerziale è descritto da $\vec x(t)$ , dove $\dfrac{d^2\vec x}{{dt}^2}=\ddot{\vec x} =0$ , mentre il moto rispetto al tempo $\tau$ viene descritto da una qualche $\vec x(\tau)$ . So che la relazione tra i due tempi è data da una certa $\tau(t)$ , e che nel moto $\tau$ vedo una forza sulla massa che è descritta dalla legge di Newton
$\vec F = m \dfrac{d^2\vec x}{{d\tau}^2}$
cerchiamo di trovare questa derivata seconda...

è stato fondamentale l'hint di .mg sulla "funzione inversa"... in pratica, se a me serve la derivata in $\tau$ , dalla chain rule la ottengo come prodotto di una funzione di $t$ con una funzione di $\tau$ , mentre facendo il contrario posso averla come rapporto di due funzioni di $t$ , che mi semplifica la derivata successiva (che in effetti non sapevo altrimenti come sbrogliare)...

calcolo $\dfrac{d \vec x}{dt} = \dfrac{d \vec x}{d\tau} \dfrac{d\tau}{dt}$ e da questa $\displaystyle \dfrac{d\vec x}{d\tau}=\frac{\frac{d\vec x}{dt}}{\frac{d\tau}{dt}}=\dfrac{\dot{\vec x}}{\dot \tau}$

(col puntino indico le derivate rispetto a $t$ )

$\displaystyle \dfrac{d^2\vec x}{{d\tau}^2}= \dfrac{d}{d\tau}\left( \dfrac{d\vec x}{d\tau} \right)= \dfrac{dt}{d\tau} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec x}{d\tau} \right)= \dfrac{dt}{d\tau} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\dot{\vec x}}{\dot \tau} \right)=$
$=\dfrac{dt}{d\tau}\dfrac{\ddot{\vec x}\dot \tau - \ddot \tau \dot{\vec x}}{{\dot \tau}^2}= -\dfrac{\ddot \tau}{{\dot \tau}^2}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\ \dot{\vec x}\right)=-\dfrac{\ddot \tau}{{\dot \tau}^2}\dfrac{d\vec x }{d\tau}$

e da qui la forza...
Mi scuso, e chiedo venia, per le mostruosità matematiche qui sopra scritte, specie nei passaggi della derivata seconda

Messaggio da **Rigel** » 29 giu 2010, 21:32

Carmelo ha scritto:Mi scuso, e chiedo venia, per le mostruosità matematiche qui sopra scritte, specie nei passaggi della derivata seconda

Mai quanto Mr. Derivata

comunque mi sembra tutto a posto

Carmelo · Messaggio da **Carmelo** » 30 giu 2010, 12:30

Beh, lui ci avrebbe liquidati con

Mr. Derivata ha scritto:(dopo una lotta impari con la tastiera, e diverse cancellature)
... e questa è chiaramente una derivata seconda rispetto a $\tau$ , no?

.mg ha scritto:È interessante inoltre osservare che la forza fittizia è assente quando $\tau$ è legato a $t$ da una relazione lineare, cioè del tipo $\tau = at + b$

in pratica, è importante che il nostro tempo non "acceleri" rispetto al tempo proprio

.mg · Messaggio da **.mg** » 30 giu 2010, 22:40

Ippo ha scritto:...che è la stessa cosa finché si ha ${1 \over dt / d\tau}={d \tau \over dt}$ , che è vero per funzioni "buone"

Sinceramente prima di fare questo problema non conoscevo questa simpatica relazione

Carmelo ha scritto:Mi scuso, e chiedo venia, per le mostruosità matematiche qui sopra scritte, specie nei passaggi della derivata seconda

Premesso che come ti è già stato detto il tuo procedimento è giusto, siamo fra fisici, non ci formalizziamo per questioni matematiche

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