Staffetta meccanica

[Miralansa]

Il mio sistema è praticamente uguale anche se io ho posto:

Quindi devo rivederlo, ma l'ora tarda e la sveglia domani mattina è presto.

[Stardust]

Ecco qua:


Da cui si arriva a quella formula.
La prima eq. è dovuta al fatto che l'accelerazione di M è pari alla componente parallela al filo di quella di m, le alre sono solo le forze agenti sulle due masse.
Non vi convince qualcosa?

Scusa spn, ma l'accelerazione di m (che scorre su e giù vincolata all'asta verticale) non è una componente dell'accelerazione di M, la massa appesa al filo, e dell'intero filo?
Io quindi ho posto:
.

[spn]

Scusa spn, ma l'accelerazione di m (che scorre su e giù vincolata all'asta verticale) non è una componente dell'accelerazione di M, la massa appesa al filo, e dell'intero filo?

No, secondo me è il contrario: è la massa m che è vincolata a muoversi lungo l'asta, non M.

Forse per capirlo meglio si può pensare che m e M hanno sempre la stessa componente dell'accelerazione lungo il filo (essendo entrambe collegate ad esso ed essendo questo inestensibile), però m può avere anche una componente perpendicolare al filo, mentre M no. Da cui si ha che , e che è la componente di lungo il filo, percui dovrebbe essere .

Spero di essere stato chiaro.

[spn]

Penso che ormai il problema si possa considerare risolto, e visto che nessuno mette gnente allora ne propongo uno io, che è abbastanza un classico, ma secondo me istruttivo.

Problema 15

In un cilindro posto verticalmente c'è un liquido di densità . Il cilindro viene fatto ruotare intorno al suo asse verticale con una velocità angolare . Dire che forma assume il liquido all'equilibrio. Dipende dalla densità?

[Saleh]

All'equilibrio nella parte superiore del cilindro si dovrebbe formare un paraboloide vuoto, l'ampiezza di questo dipende dalla densità del liquido, a un alta densità corrisponde un apertura maggiore e viceversa per una bassa. Detto questo non ho la più pallida idea di come scriverlo in calcoli

[Alex90]

Prova a pensare come si dispone un liquido in un campo gravitazionale e che relazione cè tra la superficie e il vettore accelerazione.

[spn]

che relazione cè tra la superficie e il vettore accelerazione.

...oppure tra la superficie e l'energia potenziale

[Saleh]

Sulle molecole del liquido agiscono 2 forze : quella centrifuga che spinge le molecole verso l'esterno e quella di Coriolis che fa "salire" quelle con maggiore allargando il cerchio mentre scendendo quelle con minore si avvicinano al centro di rotazione fino ad arrivare alla punta del paraboloide; ma è possibile legare questo alla densità ? se applico il secondo principio della dinamica tutti i termini contengono e si semplifica..
Dal punto di vista dell energia (forse) una maggiore causa una maggiore energia potenziale che richiede una rotazione più veloce per raggiungere la forma che si crea con un altro liquido di densità minore.
Ancora devo capire cosa devo trovare dovrei forse legare questo all'equazione matematica ?

[Stardust]

Se osserviamo la vista dall'alto vediamo un disco in rotazione (vedere figura), in cui tutti i punti si muovono con la stessa velocità angolare e subiscono un'accelerazione centripeta direttamente proporzionale alla distanza del punto dal centro di rotazione:
,
dove il raggio generico si ottiene dal Teorema di Pitagora: . Il segno meno indica che essa è centripeta.
Possiamo dire che tutte le circonferenze concentriche sono ciascuna delle linee equipotenziali, perchè tutti i punti appartenenti ad ognuna di esse sono alla stessa energia potenziale U, ricavabile dal fatto che
.
Quindi:
.
Se invece osserviamo l'energia potenziale gravitazionale che dipende dalla quota z, si ha:
.
Uniamo le due energie potenziali:
.
Tale energia complessiva deve essere costante perchè le forze in azione sono conservative, e così si pone che al centro del cilindro in rotazione, nel suo punto basso ci sia:
, ne consegue che e che vale:
.
se esplicitiamo tutto in z abbiamo:
,
laddove si rispetta la forma del paraboloide ellittico:
.
Quindi effettivamente si genera un paraboloide, la cui forma però non è influenzata dalla densità del liquido, ma solo dalla velocità di rotazione... Inaspettato, davvero.
Edit: ho corretto l'espressione finale del paraboloide. Così è garantita la coerenza dimensionale dell'uguaglianza.

[Ippo]

Quindi effettivamente si genera un paraboloide, la cui forma però non è influenzata dalla densità del liquido, ma solo dalla velocità di rotazione... Inaspettato, davvero.

Un modo per "aspettarselo" era considerare che entrambe le forze in gioco (centrifuga, gravitazionale) dipendono linearmente da e dato che a noi interesa solo la direzione del campo di forze, e questa dipende solo dal rapporto tra i moduli delle due forze, la densità verrà semplificata.