Urto pallina-disco (meccanica)

SARLANGA · Messaggio da **SARLANGA** » 12 giu 2010, 15:41

Un disco sta ruotando attorno all'asse z perpendicolare ad esso e passante per il suo centro. La sua massa è $M=0.6 Kg$ e il suo raggio è $R= 0.5 m$ ; la sua velocità angolare vale $\omega=0.13 rad/s$ . Una pallina - puntiforme - di massa $m=0.1 Kg$ si sta muovendo con velocità $v=2 m/s$ incontro al disco su una traiettoria che passa ad una distanza $d=0.2 m$ dal centro. Se dopo l'urto essa rimane attaccata al disco, il quale continua a girare attorno a z, si trovi:
(i) la velocità angolare del sistema dopo l'urto;
(ii) l'energia dissipata nell'urto;
(iii) il modulo dell'accelerazione della pallina subito dopo l'urto;
(iv) la variazione della quantità di moto nell'urto del centro di massa del sistema pallina-disco (modulo direzione e verso)

P:S: Il testo non lo specifica ma credo che $\omega$ e $v$ siano concordi.

f.o.x · Messaggio da **f.o.x** » 13 giu 2010, 18:08

credo si possa svolgere così:
a) $L=l_p+l_d$ dove $l_p$ e $l_d$ sono rispettivamente il momento angolare della pallina e del disco presi rispetto al centro di massa/asse di rotazione del disco, si ha dunque, dato che il sistema è isolato:

$L_i = L_f \Rightarrow mdv+I_i\omega_i = I_f\omega_f \Rightarrow \omega_f = \frac {mvd+I_i \omega_i}{I_f} = \frac {mvd+\frac {1}{2}M\omega_i R^2}{I_i+I_p} = \frac {mvd+\frac 1 2 M\omega_i R^2}{\frac 1 2 MR^2+mR^2} = \frac {mvd+ \frac {1}{2}M\omega_i R^2} {R^2(\frac 1 2 M+m)} = 0,50 \, s^{-1}$

b) L'unica energia che si dissipa è quella cinetica, infatti l'energia cinetica iniziale del sistema è:

$K_i = K_{d,i} + K_{P_i}= \frac 1 2 I_i \omega_i^2 + \frac 1 2 mv^2= \frac 1 2 \big( \frac 1 2 MR^2\omega_i^2 + mv^2 \big)$ ,

invece l'energia cinetica finale è:

$K_f= K_{d,f} + K{p_f} = \frac 1 2 I_f \omega_f^2 + 0 = \frac 1 2\omega_f^2 R^2 \big( \frac 1 2 M + m \big)$

Quindi l'energia "persa" è:

$\Delta K = \frac 1 2 \omega_f^2 R^2 \big( \frac 1 2 M + m \big) - \frac 1 2 \big( \frac 1 2 MR^2\omega_i^2 + mv^2 \big) = -0,18 J$

c) dopo l'urto il disco ha $\alpha = 0$ , quindi l'unica accelerazione che agisce sulla pallina è quella centripeta:

$a_c= \omega_f^2 R = 0,13 s^{-2}$

d) La quantità di moto del centro di massa è inizialmente:

$P_{cm,i}=M_{tot}v_{cm,i}= M \big( \frac {Mv_{cm,d,i}+ mv} {M_{tot}} \big)$

dato che $v_{cm,d,i}$ è la velocità del centro di massa del disco che è nulla l'equazione diventa: $P_{cm,i}=mv$

Dopo l'urto diventa

$P_{cm,f}= M_{tot}v_{cm,f}= Mv_{cm,d,f} + mv$ stavolta però $mv$ è nulla mentre $Mv_{cm,d,f}$ non lo è perchè il centro di massa del disco non coincide più con l'asse di rotazione, ma la sua posizione è ad una distanza da esso pari a:

$d_{cm}=\frac m {m+M}R = 0,07m$

e quindi avrà una velocità di modulo $v_{cm}= \omega_f d_{cm}= 0,04 m/s$ e cioè $P_{cm,f}=Mv_{cm}$ , quindi:

$\Delta P_{cm}= Mv_{cm} - mv = -0,18 kg \cdot m/s$

Questo è il primo problema che faccio su un corpo in rotazione, dato che mi sono studiato oggi i due capitoli dell'Halliday, siate dunque comprensivi

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