Staffetta meccanica

[Stardust]

Imposto un sistema di coordinate curvilineo, che segua il filo pendente e l'asta verticale con m.

Le forze su M sono:
, mentre su m sono:
.
Combinando le due equazioni e facendo un po' di manovre si arriva alla formula:
.
All'equilibrio sia su M che su m non ci devono essere forze nette per cui:
e
, da cui si arriva a:
.
Da questo si osserva che l'equilibrio si può raggiungere solo se m<M.

Quando M è al punto minimo dista dal soffitto una distanza pari a:
, mentre il punto minimo raggiunto da m dista dal soffitto
.
Essendo , si pono un nuovo sistema di riferimento ortogonale sulla situazione, ponendo il livello 0 in corrispondenza della posizione più bassa per m, dunque l'altezza del soffitto in questo sistema è .
L'energia potenziale del corpo m è:
.
Per calcolare l'altezza si procede così (guardare la figura per maggiore chiarezza):
;

.
Quindi l'energia potenziale di M in funzione dell'altezza di m è:
.
L'energia potenziale del sistema è:
,
la cui derivata è:
.
Ponendo
e
.
Si trova un massimo per
, mentre il minimo della funzione è fuori dall'intervallo di definizione, che è .
Bisogna dimostrare che tale ordinata corrisponde all'angolo dell'equilibrio prima calcolato.
Per far questo si nota che
e
, mentre la distanza prima indicata come
è definita anche come:
.
Sostituendo si arriva a
e quindi si ha:
.
Così si dimostra che i due risultati su e indicano la stessa situazione di equilibrio.
Inoltra dato che tale configurazione si verifica in corrispondenza di un massimo di Ut, si osserva che tale equilibrio è instabile.

PS: Con questo post la nostra staffetta meccanica raggiunge la fatidica soglia dei 100 messaggi!!!

[Miralansa]

Allora la tensione è giusta, l'angolo di equilibrio giusto.
Per l'energia potenziale avevo suggerito , la funzione viene molto più snella e lo studio molto più semplice. Un altro appunto: l'energia potenziale cambiando l'altezza da cui si calcola cambia al più per una costante che per lo studio dei massimi e minimi è ininfluente, sinceramente a me viene punto di equilibrio stabile, non capisco come hai trovato che il punto sia di massimo hai posto:

Cioè che la derivata della funzione sia 0 nel punto e sia positiva nello stesso punto?
Dovrei rifare i calcoli, ma fare una derivata di una doppia radice e studiare il segno(o derivarla un'altra volta), mi prenderebbe troppo tempo.

[Stardust]

Ho commesso un'errore nella scrittura della formula in LaTeX:
per calcolare il massimo o il minimo o il flesso a tangente orizzontale (insomma i punti stazionari) di una funzione bisogna mettere la sua derivata prima uguale a 0 e poi maggiore di 0:
.
Purtroppo non ho messo attenzione alla richiesta di , ma è evidente dalla dimostrazione che ho dato per che il risultato è corretto.
Quanto al tipo di equilibrio, lo studio della funzione mi dà un massimo in corrispondenza dell'ordinata/angolo dell'equilibrio, perciò l'equilibrio mi risulta instabile. Comunque riprovo a costruire e fare i conti in questo secondo modo, ma osservando la situazione da un punto di vista puramente fisico, mi sembra intuitivo che non appena m si sposta un po' sopra o un po' sotto la sua posizione di quiete, si muove senza tornare alla condizione iniziale. Comunque quest'aspetto merita un ulteriore approfondimento.

[Miralansa]

Scusa hai scritto:

per i punti o studi il segno della derivata prima, deve essere maggiore di 0 prima del punto stazionario e successivamente negativa per avere un punto di massimo; oppure studi la derivata seconda nel punto stazionario se è positiva abbiamo un punto di minimo, un punto di massimo se negativa.

[spn]

Scusate, ma siete sicuri della formula per trovata da Stardust?
Guardandola al volo mi pare che toppi in (quando il filo è orizzontale): messa così viene una tensione infinita, mentre ad occhio direi che dovrebbe essere Mg in quanto l'accelerazione di M è nulla in quell'istante.

[Eagle]

1) Poiché il sistema non è in moto sull'asse orizzontale , consideriamo soltanto l'asse verticale



Svolgendo il sistema:



Analizziamo i casi estremi:

[Miralansa]

Cerco di rispondere in ordine e spero di dire cose corrette:

*Spn Dici che il nella posizione l'accelerazione della massa M è nulla? Quindi è una posizione di equilibrio: essendo vincolati geometricamente entrambe le masse hanno accelerazione nulla e quindi se li mettiamo a riposo in quel punto non si muovono.

*Eagle nel tuo sistema le accelerazioni delle masse sono uguali, sei sicuro: per uno spostamento dl della massa grande la massa piccola si sposta di uno stesso spazio dl, o è solo il filo che le collega e quindi l'ipotenusa che aumenta di una quantità dl?

[spn]

No Miralansa, non è in una situazione di equilibrio: m si muove. Non è vero che se l'accelerazione di M è nulla allora lo è anche quella di m. I due corpi sono vincolati ad avere solo la componente parallela al filo uguale per entrambi, ma quella perpendicolare può essere benissimo diversa. In infatti M ha accelerazione nulla, ma m ha un'accelerazione pari a g (in quanto la tensione del filo e la forza peso di m sono perpendicolari tra loro, e la reazione del vincolo non consente a M di muoversi), percui non dovrebbe andare bene neanche la soluzione di Eagle.

Fatti i conti mi viene:



Inoltre sono anche abbastanza certo sul fatto che l'equilibrio con è stabile, visto che con su m agisce una forza diretta verso l'alto, e viceversa con .

[Miralansa]

Scusa spn puoi postare il sistema iniziale e le considerazioni da cui hai ricavato la formula?

[spn]

Ecco qua:


Da cui si arriva a quella formula.
La prima eq. è dovuta al fatto che l'accelerazione di M è pari alla componente parallela al filo di quella di m, le alre sono solo le forze agenti sulle due masse.
Non vi convince qualcosa?