Satellite in campo gravitazionale

[SARLANGA]

Un satellite di massa m=3250 Kg orbita attorno alla terra ad un'altezza h=270 Km con velocità tangenziale . Se a causa di una forza frenante del motore la velocità si riduce al 5% di , quanto vale la variazione del periodo?
P.S.: Siccome non viene specificato immagino si possa supporre il moto iniziale come moto circolare uniforme

[egl]

Provo a risolvere questo problema immaginando che il satellite si assesti su di un'orbita nella quale, per l'equilibro, si ha

la velocità diventa .
Eguaglio l'accelerazione centrifuga alla forza di attrazione gravitazionale e mi ricavo , poi con la terza di Keplero dico che dove me la dà il problema e e la massa della Terra. Ricavo quindi .

Imposto poi l'altra equazione fra la forza centrifuga e l'attrazione di gravità per ricavarmi l'altezza alla quale orbita dopo il cambiamento di velocità il satellite. Immagino, forse mi sbaglio, che sarà più distante dalla Terra di prima.

dalla quale mi ricavo che (mi sembra un risultato alto...)

Poi, di nuovo con la terza di Keplero, dalla quale .
Faccio quindi la differeza fra i due periodi e trovo che .
Probabilmente è sbagliato...

[Stardust]

A me escono gli stessi risultati, egl. Però non so se devi preoccuparti o no...

[SARLANGA]

Per quanto riguarda la situazione iniziale, ho calcolato e in modo leggermente diverso:
-) La III legge di Keplero io la conosco come dove è , quindi trovo un valore diverso dal tuo:
-) A partire dall'energia meccanica
essendo l'energia cenetica trovo
Ora, dato il cambiamento di velocità, nessuno ci dice che la nuova orbita sia circolare...tuttavia posso ancora calcolare facilmente l'energia cinetica e successivamente l'energia meccanica, ricordando che , dove al posto di ci mettol'energia potenziale che aveva nella prima traiettoria, trovando così
Quindi essendo , con semiasse maggiore della nuova orbita, trovo e per la terza legge di Keplero "modificata per l'orbita ellittica": si trova e infine .
Perchè c'è tutta questa differenza nei risultati da che dipende?
P.S.: @egl: Nella 7° riga del tuo post credo che intendevi anche nel secondo denominatore, giusto?

[Stardust]

Nell'orbita circolare l'energia meccanica complessiva è:
, in cui la componente cinetica è:
.
Da ciò si osserva che la velocità iniziale su orbita circolare è:
.
Una volta che la velocità viene ridotta fino al valore di
,
il corpo finisce con l'entrare in una nuova orbita, con energia pari a:
.
Ricordando la relazione che lega le due velocità considerate, si ha:
.
Se eguagliamo le due energie iniziale e finale, si ha:
.
Con alcune semplificazioni si giunga alla formula:
, per poi ricavare:
.
La terza legge di Keplero ci mostra che:
, quindi il periodo di rivoluzione finale del satellite sulla nuova traiettoria è:
.
La variazione di periodo è

.
E' bene notare che
.
Immettendo i valori numerici si ha:
, quindi:
.

[Eagle]

Com'è scritto nel testo, il satellite si muove inizialmente di moto circolare uniforme. Se quest'ultimo annullasse improvvisamente la propria velocità, cadrebbe verso il centro della Terra secondo il tipico moto di caduta libera (trascurando le variazioni dell'accelerazione di gravità dovute all'altezza dell'orbita). Di conseguenza la riduzione della velocità iniziale porta il satellite a percorrere una traiettoria ellittica il cui raggio medio , dove è il raggio dell'orbita circolare iniziale.

Propongo questo link in cui è possibile compiere delle simpatiche simulazioni ( ) sul moto dei satelliti: http://www.fustaki.com/simulations/sim. ... =Satellite

[Stardust]

Ho visto la pagina consigliata da Eagle, ma non riesco a visualizzare l'animazione. Ho provato sia con Firefox che con Opera, qualcuno sa come posso risolvere il problema?

[Ratio]

Ho visto la pagina consigliata da Eagle, ma non riesco a visualizzare l'animazione. Ho provato sia con Firefox che con Opera, qualcuno sa come posso risolvere il problema?

Anche per me è così. Ho provato con Iceweasel (vabbè, Firefox, praticamente) ed Epiphany. Ho anche aggiornato Java, ma niente.
Mi è venuto il dubbio che sia eseguibile solo su IE...

[Stardust]

Credo di aver commesso un errore nel considerare la conservazione dell'energia tra la condizione di orbita circolare e quella di orbita ellittica.
Allora consideriamo solo la configurazione iniziale, con il moto circolare:
-energia cinetica:
;
-energia potenziale gravitazionale:
;
-energia meccanica complessiva:
.
Questo ci permette di ricavare la velocità iniziale:
.

La velocità che assume il corpo, frenando, è:
.
Una volta che il satellite ha rallentato, la sua energia complessiva è cambiata (assumiamo però che si trovi nello stesso punto iniziale):
-energia cinetica:
;
-energia potenziale gravitazionale:

-energia meccanica complessiva:
, dove a è il semiasse maggiore dell'ellisse descritta dal nuovo moto del satellite.
Possiamo sviluppare quest'uguaglianza:
.
Facendo scomparire dall'espressione precedente i termini G, M e m, si ha:
.
Cambiando di segno entrambi i membri, con altre manipolazioni si ha:
da cui si arriva a :
.
A questo punto si torna alla 3^ legge di Keplero, da cui si ricava il periodo finale che adesso il satellite rispetta sulla sua nuova orbita:
.
La variazione di periodo è quindi:
.
Questo significa che il corpo ha un nuovo periodo più breve di quello di partenza.

[Stardust]

Mi è venuta in mente una riflessione sulle manovre da far eseguire ad un satellite per portarlo su un'orbita di raggio maggiore...
Prima lo si fa rallentare (più o meno come nel problema), si attende che raggiunga il punto diametralmente opposto a quello in cui ha frenato, e lì lo si accelera, portandolo alla velocità propria dell'orbita circolare che ha come raggio l'attuale distanza dal fuoco.
Credo che sia necessario invece fare questi passaggi in ordine invertito per "abbassare" il satellite, facendolo avvicinare al pianeta.