Staffetta meccanica

Eagle · Messaggio da **Eagle** » 5 mag 2010, 0:00

Ho provato a svolgere l'esercizio e non mi trovo con alcuni risultati postati da Ratio.
1) Il sistema di riferimento $S$ della slitta non è inerziale perché si muove con accelerazione $g\sin\theta$ . Ne consegue la presenza di una forza apparente $\vec F_s$ di ugual modulo ma di verso opposto rispetto a $\vec F_0=m\vec g\sin\theta$ . Concordo, dunque, con la risposta di Ratio: stesso vale per il punto 2.
3) Il sistema di riferimento $P_i$ del piano inclinato non è inerziale perché si muove con accelerazione orizzontale $a_t$ . Quest'ultima si scompone nella componente parallela al piano inclinato stesso $a \hat i' = a_t * {\cos\theta}$ .
Di conseguenza la velocità finale del corpo rispetto al piano inclinato è:

$\displaystyle{v_f=\sqrt{\frac{2h}{\sin\theta}(g\sin\theta-a_t\cos\theta)}}$

Il tempo con cui arriva il corpo alla fine del piano inclinato è:

$\displaystyle{t=\sqrt{\frac{2h}{\sin\theta(g\sin\theta-a_t\cos\theta)}}}$

Il peso misurato dalla bilancia è per il precedente ragionamento:

$\displaystyle{P_{y2}=m(g+a_t\sin\theta\cos\theta-g\sin^2\theta)}$

A conferma di ciò:

$\theta=90^0 \Rightarrow P=0$

$\theta=0^0 \Rightarrow \vec P=m\vec g$

La velocità assoluta del corpo rispetto al sistema di riferimento $L$ del laboratorio è:

$\vec V_a = \vec V_f + \vec V_t$ $\Rightarrow$ $V_t=a_t*t$ $\Rightarrow$ $V_a=\sqrt{(V_f\cos\theta+a_t)^2+(V_f\sin\theta)^2}$

4) La slitta risale il piano inclinato se e solo se:

$\displaystyle{a \hat i'>g\sin\theta \Rightarrow a_t>g\tan\theta}$

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 6 mag 2010, 20:44

Mi trovo con Eagle sulla velocità relativa finale dell'oggetto, rispetto al sistema di riferimento inerziale del laboratorio, per il resto le vostre soluzioni combaciano.
A voi il compito di proseguire la staffetta.

Ratio · Messaggio da **Ratio** » 6 mag 2010, 22:38

Stardust ha scritto:A voi il compito di proseguire la staffetta.

Ad Eagle l'arduo compito di trovare un problema stuzzicante (il sottoscritto al momento non ne trova...

Stranamente).

Eagle · Messaggio da **Eagle** » 7 mag 2010, 14:10

Colgo al balzo l'occasione che Ratio mi ha fornito per proporre questo problema:
1) Una pallina, appesa ad un filo di lunghezza $L$ fissato superiormente a un punto $P$ , viene spostata dalla posizione di equilibrio $O$ e poi lanciata in direzione orizzontale in modo tale da realizzare un pendolo conico: la pallina si muove cioè di moto uniforme in un piano orizzontale lungo una circonferenza, il filo si sposta lungo la superficie di un cono ad asse verticale avente come vertice il punto di sospensione $P$ .
(a) Si determini in funzione di $\phi$ , angolo formato dal filo con la verticale, la velocità con cui deve essere lanciata la pallina.
(b) Si verifichi entro quali limiti può variare la velocità angolare, e conseguentemente il periodo di rotazione.
(c) Quanti giri deve fare al minuto, come minimo, un pendolo conico di lunghezza $1 m$ .

Ratio · Messaggio da **Ratio** » 8 mag 2010, 14:11

Soluzione del problema 10 (ma siamo al 10?!

).

a) Disegnando le forze agenti sulla massa otteniamo le equazioni:
$T \cos \phi = mg$
$T \sin \phi = m \dfrac {v^2}{l \sin \phi}$
da cui per sostituzione
$v = \sqrt {lg \dfrac {\sin^2 \phi}{\cos \phi}}$

b) dal punto (a) ricaviamo che
$\omega = \dfrac {v}{l \sin \phi} = \sqrt {\dfrac {g}{l \cos \phi}}$ .
Notiamo che:
$\phi = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{g}{l}}$ , che è il minimo.
$\phi = \pi / 2 \Rightarrow \omega \rightarrow \infty$ , che è il limite superiore.
Il periodo, ovviamente, è massimo per $\phi = 0 \Rightarrow T = 2 \pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}$ e minimo per $\phi = \pi / 2 \Rightarrow T = 0$ .

c) il numero minimo dei giri è $\dfrac {60 s}{T_{max}} = \dfrac {60 s}{2 \pi} \sqrt {\dfrac{g}{l}} \approx 30$ .

N.B.: $\omega$ minimo altro non è che la pulsazione di un normale pendolo, giustificata dal fatto che abbiamo spostato la massa dalla posizione di equilibrio senza conferire una velocità orizzontale.

Aspetto conferma, da Eagle.

Eagle · Messaggio da **Eagle** » 8 mag 2010, 16:27

Perfetto, Ratio. Complimenti per l'eccellente risoluzione.

Vai col prossimo

Ratio · Messaggio da **Ratio** » 8 mag 2010, 18:54

Eagle ha scritto:Vai col prossimo

Non mi bastonate se cedo il mio diritto al primo "volenteroso di postare un problema" che passa, vero?!

A forza di provare a risolvere problemi, purtroppo mi risulta difficile mettermi "dall'altra parte"...

Perciò invito chiunque creda di avere un problema interessante di non esitare a postarlo al posto mio

Messaggio da **Pigkappa** » 9 mag 2010, 14:59

Problema 11. Una particella (relativistica) di massa $m_1$ e velocità $v_1$ urta una particella di massa $m_2$ ferma. Qual è il minimo valore possibile di $v_1$ che permette alle particelle di unirsi a formare un'unica particella di massa $m_3$ ?

[se nessuno sa cosa è una trasformazione di Lorentz lasciate perdere e proponete qualcos'altro...]

Messaggio da **Pigkappa** » 11 mag 2010, 17:59

Noto con dispiacere che nessuno lo risolve; sappiate comunque che al preIPhO e alle IPhO problemi di questo tipo ci possono essere. Qualcuno faccia un'altra domanda, allora.

Messaggio da **Rigel** » 16 mag 2010, 16:04

Pigkappa ha scritto:[se nessuno sa cosa è una trasformazione di Lorentz lasciate perdere e proponete qualcos'altro...]

Servono le trasformazioni di Lorentz? a occhio direi che si può applicare la conservazione della quantità di moto nell'urto e poi imporre che l'energia relativistica della particella 3 sia minore o uguale alla somma delle energie delle particelle 1 e 2.

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