Fontana d'acqua.

[Pigkappa]

Una fontana è costituita da un piccolo spruzzatore semisferico (che, ai fini del problema, potete considerare puntiforme) poggiato a terra. L'acqua esce dalla superficie semisferica in tutte le direzioni, con velocità che ha lo stesso modulo per tutte le direzioni. Quale sarà la forma della campana d'acqua formata da tutti i getti?




Volevo postarlo nella staffetta meccanica, perchè la difficoltà è simile a quelli che ci sono già, ma mi sono reso conto che, se non risolverò mai uno dei vostri problemi (perchè ha poco senso che li risolva io...), non ne potrò mai postare.

[Eagle]

Provo a postare delle semplici considerazione.
Ogni singolo getto d'acqua ha velocità costante in modulo . Ciò che varia è ovviamente la direzione: i getti pertanto, quando formano un angolo con il piano orizzontale, si muovono di moto parabolico. Fanno eccezione il getto spruzzato verso l'alto e quelli in direzione parallela al piano orizzontale, il cui moto è approssimativamente rettilineo.
Provando in giardino con una pompa ad acqua a getto costante - evitando di postare le grida dei vicini per aver allagato il loro terrazzo - mi sono reso conto, e spero di non aver avuto abbagli, che la gittata degli spruzzi approssimativamente orizzontali è maggiore rispetto all'altezza raggiunta dal getto verticale. Inoltre per getti la cui direzione si avvicina sempre di più a quella del getto verticale, il e quindi anche la velocità orizzontale tende ad annullarsi e con essa la distanza orizzontale. Visivamente queste piccole considerazione (nella loro eventuale correttezza) rendono nel complesso l'idea di una cupola a forma di un paraboloide circolare, con raggio di base la cui equazione è:



dove è la condizione affinché sia un paraboloide circolare (caso particolare del paraboloide ellittico).

[Gauss91]

Il solido formato, che chiamiamo sarà sicuramente simmetrico rispetto alla retta perpendicolare al terreno e passante per la fontanella.
Consideriamo una sezione qualsiasi di staccata da un piano perpendicolare al terreno e passante per la fontanella. Non c'è alcuna imposizione nella scelta di tale sezione, perché esse saranno tutte uguali a causa della simmetria di . E' chiaro che il problema è risolto se si trova la forma di .
Consideriamo un elemento di acqua che parte dalla fontanella con un angolo rispetto al terreno. L'equazione della traiettoria dell'elemento sarà
. Al variare di theta, questa è l'equazione di una famiglia di parabole di cui sarà l'inviluppo.
Ponendo e usando l'identità si pone la traiettoria in forma inplicita come . Per l'inviluppo si risolve il sistema
.
Per la seconda si ottiene , che sostituito dà l'equazione di :
, che è ancora una parabola con asse passante per la fontanella e vertice di altezza .
sarà generato dalla rotazione di attorno al proprio asse, ed è quindi un paraboloide di rivoluzione.

NOTO: sì è dimostrato che l'inviluppo di una famiglia di parabole è ancora una parabola. Potrebbe essere utile... .

[Pigkappa]

.

Qui c'è invece di .

Comunque la soluzione è corretta, anche se non conosco il metodo che hai usato per trovare l'inviluppo delle parabole e garantisco che, in questo caso, c'è un modo semplice di fare il conto che non richiede di sapere qualcosa di analisi. Le derivate parziali sarebbero off-limits per le Olimpiadi.



Rispondendo ad Eagle: è più importante risolvere il problema che disquisire sulla classificazione dei paraboloidi prima ancora di averlo risolto. Il getto verticale e quello orizzontale hanno gittata nulla.

[Carmelo]

...la soluzione è corretta, anche se non conosco il metodo che hai usato per trovare l'inviluppo delle parabole

ti dispiacerebbe spiegarlo?