Cubo relativistico

[Ippo]

Un cubo di lato L si muove a grande velocità (costante) e vi passa accanto, ad una distanza . Ha due facce orizzontali, due parallele alla direzione del moto e due ortogonali.
Diciamo che il cubo abbia le facce colorate di colori diversi, per poterle distinguere visivamente. Se la sua velocità fosse molto minore di c, quando esso si trova alla minima distanza da voi vedreste semplicemente un quadrato di lato L monocromatico. Ci si chiede che cosa si vede se la velocità del cubo è relativistica (rilevante rispetto a c).
In particolare, dimostrare che il cubo appare non contratto ma ruotato. O meglio: dimostrare che ciò che osservate visivamente è compatibile con una rotazione del cubo.
Buon divertimento!

[Eagle]

Immaginiamo di fotografare un cubo di spigolo in moto a velocità con una faccia parallela all'obiettivo. Dalla foto è possibile notare soltanto la faccia , mentre le altre cinque non appaiono visibili.
Se invece il cubo si muovesse a velocità , si otterrebbe un fenomeno relativistico noto come la rotazione di Terrel-Penrose, infatti:
1) La faccia subirà una contrazione della larghezza originaria pari a:



2) La faccia , come mostrato in figura, avrà una laghezza pari a:



Di conseguenza l'effetto che si ottiene è una rotazione pura del cubo.

P.S.: Complimenti ad Ippo che tira fuori sempre argomenti interessanti

[Ippo]

Ok, ma non intendevo !
diciamo o qualcosa del genere, in modo che gli effetti relativistici siano rilevanti ma non così tragici
se vuoi si può riformulare così: trovare l'angolo di rotazione in funzione della velocità. Sappiamo che sarà 0 per v=0 e 90° per v=c, ma in generale?

[Eagle]

Assumendo che nessun corpo possa superare la velocità della luce , e quindi, che l'angolo di rotazione non possa essere maggiore di 90°:



Nell'attesa del responso, spero di non aver ancora travisato le richieste esplicite di Ippo

[Ippo]

Ok, ma una dimostrazione?
Perché non potrebbe essere ad esempio ?

[Eagle]

In effetti sapendo che a causa dell'effetto relativistico , ne consegue che quando allora e questo avviene se e solo se l'angolo di rotazione è di 45°. Per convincersi di ciò basta svolgere delle semplici proiezioni ortogonali. Per tal motivo il ragionamento è valido se e solo se: . Infatti se avessi: risulterebbe che e con questa affermazione si negherebbe l'ipotesi, avanzata secondo la teoria di Terrel-Penrose.
Spero questa volta di essere stato più chiaro - ringrazio comunque Ippo per aver messo in luce l'incompletezza delle precedenti risposte (se si vuole essere convincenti, bisogna essere soprattutto precisi).

[Ippo]

Questa continua a non essere una dimostrazione. Una dimostrazione è la seguente:

(nel seguito si pone per comodità di notazione)
il lato parallelo alla velocità è lungo per via della contrazione delle lunghezze di Lorentz;
la luce proveniente dalla faccia posteriore del cubo (quella più lontana da noi) ha un ritardo di su quella proveniente dalla faccia anteriore, cosicché la faccia posteriore ci appare di un tratto più indietro di quella anteriore; allora quello che vediamo sono due rettangoli di colore diverso, con altezza L e base rispettivamente e , che è esattamente ciò che vedremmo se il cubo fosse ruotato di un angolo che soddisfa
Come vedi questo risultato soddisfa e ma non è la relazione lineare che ipotizzavi tu

[Eagle]

Ti ringrazio per avermi corretto l'ennesima volta: sono d'accordo con te, la mia non era una dimostrazione, scusami ancora per questo ma ti ringrazio all'infinito perché anche oggi ho imparato qualcosa di nuovo.

Grazie