Staffetta meccanica

[Stardust]

Scusatemi, per la fretta ho scambiato un momento d'inerzia per l'altro. Ristabiliamo un po' di ordine:
;
l'inerzia totale è quella che ho erroneamente attribuito prima alla sola asta:
.
Ne deriva che la velocità angolare di rotazione è:
.
Ok, Gauss91, la traslazione si combina con la rotazione: mica è il caso di vedere una legge oraria che unifichi i due moti?

[Gauss91]

Ok, Gauss91, la traslazione si combina con la rotazione: mica è il caso di vedere una legge oraria che unifichi i due moti?

Non è necessario: il problema non lo richiede, e il moto è completamente descritto. Che io sappia, gli unici moti possibili di un corpo rigido sono: traslazione, rotazione, vibrazione (sottolineo CHE IO SAPPIA, e sottolineo anche che so molto poco ). Una volta descritti completamente le tre componenti del moto, questo è completamente descritto e non c'è bisogno di trovare una legge oraria magari molto complicata (conta che ci sono 9 incognite in tutto...).

[Stardust]

La cosa mi consola, ma in questo caso non ci sarebbe stato niente di troppo difficile. Viene fuori una relazione che regola x e in modo completamente lineare.

[Gauss91]

Va beh era una considerazione generale per il futuro .

[Ratio]

Credo di aver capito che entrambi gli oggetti sono sul piano orizzontale e lì restano anche dopo l'urto.
Dato che l'impatto è anelastico, si considera solo la conservazione del momento angolare, che all'inizio è
, e poi diventa:
, in cui l'inerzia è quella del sistema M+m che ruota intorno al comune centro di massa.

Scusa, ma il momento non dovrebbe essere conservato solo se calcolato sul braccio relativo al polo di rotazione del sistema M+m?
Ovvero ?

L'inerzia attribuibile all'asta ora si calcola con il teorema di Steiner

Visto che sono un pò ignorante... ma è un altro nome del teorema degli assi paralleli?

[Stardust]

Hai proprio ragione Ratio, grazie per la correzione.
Posto r il braccio del momento angolare, ottengo
.
apportato quest'eesenziale cambiamento, la velocità angolare è
.

L'inerzia attribuibile all'asta ora si calcola con il teorema di Steiner

Visto che sono un pò ignorante... ma è un altro nome del teorema degli assi paralleli?

Non ti preoccupare, siamo tutti ignoranti almeno sotto qualche punto di vista:
è più grave applicare male la conservazione del momento angolare che non sapere cosa sia il teorema di Steiner. Tanto più che tu lo conosci già: è il nome "di battesimo" del teorema degli assi paralleli, giusto per renderlo un po' meno anonimo.

[Stardust]

La soluzione del problema è stata un lavoro di gruppo, per così dire, quindi conviene che qualcuno controlli i calcoli.
Comunque se non dispiace a nessuno, ora io proporrei il mio contributo alla staffetta meccanica, cambiando un po' argomento.

Una slitta scivola senza attrito su un piano inclinato inizialmente immobile, partendo da ferma all'istante
t = 0 da un punto a quota h. Sulla slitta è posta una bilancia a molla su cui è appoggiato
una cassa C di massa m. La massa della slitta e della bilancia è trascurabile rispetto a m.
1. Calcolare il tempo impiegato dalla slitta per arrivare a terra, la velocità finale e il peso di C
(in N) indicato dalla bilancia durante la discesa.
2. Ripetere il calcolo delle precedenti quantità supponendo che il piano inclinato si sposti verso
destra su una piattaforma orizzontale con velocità costante. È richiesta la velocità finale
della slitta rispetto al piano inclinato.
3. Ripetere il calcolo delle precedenti quantità supponendo che il piano inclinato si sposti verso
destra su una piattaforma orizzontale con accelerazione costante, iniziando il suo moto a
t = 0 . È richiesta la velocità finale della slitta rispetto al piano inclinato e quella assoluta
(rispetto al laboratorio).
4. Determinare la condizione da imporre ad affinché la slitta scivoli verso l'alto invece che
verso il basso.

Allego una descrizione grafica della situazione.

[Ratio]

1. Il tempo per giungere alla fine del piano è , imponendo chiaramente la lunghezza del piano .
La velocità finale la si ottiene dalla conservazione dell'energia, perciò .
Il peso misurato dovrebbe essere (e su questo ho dei dubbi, purtroppo) , è dato cioè dalla differenza tra la forza peso e la forza apparente verso l'alto causata dalla discesa accellerata. Il fatto poi che per e per , cioè caduta libera, mi sembra confortante...

2. Le risposte sono identiche a quelle del punto 1 perché sono due sistemi inerziali.

3. La presenza di impone che l'accellerazione parallela al piano sia . [Scusate se segno il versore e poi calcolo il modulo insieme, ma è per far capire la direzione del vettore].
Percui tenendo conto di questo abbiamo:
il tempo di arrivo alla fine del piano inclinato è ;
la velocità finale relativa al piano è ;
la velocità assoluta invece è , il cui modulo è .
Seguendo lo stesso ragionamento di prima dovremmo avere che la forza peso è .

4. La slitta scivola verso l'alto se .

Sono sicuro di aver fatto qualche errore, comunque. Ditemi.

[Ratio]

Il ritardo del responso si fa sempre più preoccupante...

[Stardust]

Scusatemi per il ritardo, non ho avuto la possibilità di intervenire prima , ma purtroppo mi sembra che non esiste una soluzione ufficiale al problema (tratto dal Certamen Fisico-Matematico di un paio di anni fa).
Io l'ho fatto alla lavagna a scuola venerdì scorso, riempiendone ogni cm quadro prima di cancellare tutti i calcoli per passare a matematica...
Se non ricordo male, mi sembrano ok i primi due punti e il quarto, il terzo non lo ricordo perfettamente, ma sicuramente mi veniva fuori un ragionamento di quel tipo. Appeno posso rifaccio su carta quei calcoli e vi faccio sapere.
Poi, se anche qualcun altro ha svolto il problema, potrebbe intervenire e confrontare le soluzioni.