Srotolamento di uno yo-yo - Halliday (pag. 207)

[MrTeo]

È in effetti un problema un po' strano da proporre visto il clima di fervore pre-Senigallia che attanaglia il forum... ma mi piacerebbe chiarire una questione spinosa che è insorta mentre ne tentavo la risoluzione.
Il problema è svolto sull'Halliday lavorando con l'accelerazione angolare costante dello yo-yo (quindi cinematica e dinamica rotazionale), io vorrei vedere da voi quale sarebbe una possibile risoluzione usando la conservazione dell'energia.... nonostante lo abbia rifatto innumerevoli volte ho sempre una piccola e irritante discrasia col risultato ufficiale che non riesco a spiegarmi.

Uno yo-yo avente massa M=0,24 kg è costituito da due dischi di raggio R=2,8 cm connessi mediante un asse sottile di raggio R₀=0,25 cm. Una corda di lunghezza L=1,2 m è arrotolata intorno all'asse. Si supponga di lasciar cadere lo yo-yo con velocità iniziale v₀=1,4 m/s e si calcoli la sua velocità angolare quando la corda è completamente srotolata. [610 rad/s]

Buon lavoro e grazie mille in anticipo per tutti i contributi che arriveranno

[spn]

Per la conservazione dell'energia si ha che:




Dove ed è data dal sistema:




Dove T è la tensione del filo, e è il momento d'inerzia dello yo-yo (supponendo la massa dell'asse trascurabile), da cui:


Infine :


Spero di aver inteso bene quello che chiedevi.

[Falco5x]

Alcune domande: una a spn e altre in generale.

@spn: quando lo yo-yo giunge al termine del filo ha anche un'energia rotazionale, mi sembra. Perché nel bilancio di energia non ne tieni conto?

In generale: a che serve la massa se pare non entrare in nessun calcolo? l'asse di avvolgimento è davvero di massa e quindi momento d'inerzia trascurabile? e se sì, perché il testo non lo dice? non mi pare chiara la dinamica iniziale del lancio: la mano si blocca dopo aver impresso allo yo-yo un moto puramente traslatorio avente la velocità iniziale data?

E infine la domanda delle domande: ma perché nel 90% dei casi i testi degli esercizi mi lasciano perplesso? sono forse io un caso lampante di insufficiente Q.I. oppure sono gli autori dei problemi (in questo caso l'Halliday, suppongo) che andrebbero presi a calci?

[spn]

Dunque, quella formula per il bilancio energetico l'avevo ricavata facendo un esercizio simile a questo, e l'ho applicata brutalmente a questo caso. Effettivamente messa così non ha molto senso, e non sembra neanche banale, percui cerco di rifare i passaggi per ricavarla:

Allora, considero il moto come solo rotatorio intorno al punto di contatto tra yo-yo e filo. Essendo il moto solo rotatorio, ora il bilancio energetico è:





Dove I è il momento d'inerzia dello yo-yo rispetto al punto di contatto con il filo, quindi, per il teorema degli assi paralleli:


Da cui:


Ora, sostituendo si ha il bilancia energetico che avevo usato, ma l'esercizio è già finito qui .
Insomma, il metodo che avevo usato era valido, ma passava per uno più veloce .

Il fatto che non dipende dalla massa è interessante.
Comunque concordo con Falco5x nel dire che nell'interpretazione del problema bisogna usare un po di senso comune e di pratica nell'aver giocato con gli yo-yo, perchè il testo non è sembrato chiarissimo neanche a me (niente a che vedere comunque con quelli della normale, dove una buona parte della difficoltà dei problemi è capirli ).

[MrTeo]

Ottimo, il procedimento direi corrisponde... ne deduco che devo aver perso qualche velocità angolare per strada
In ogni caso grazie mille a entrambi per la prontezza e la precisione (come al solito )