Ciao a tutti!
Non sono in età da Olimpiadi, però mi piace la Fisica e mi piacerebbe ogni tanto dare un mio piccolo contributo
Stardust ha scritto:Come si possono ricavare o dove si possono trovare le approssimazioni sugli angoli introdotte da Ippo nella dimostrazione?
Senza scomodare le serie di Taylor (strumento comunque importantissimo in Fisica), se hai familiarità con i limiti (più alla portata di uno studente liceale) quelle approssimazioni possono anche essere dedotte da due limiti notevoli:
e
e applicando poi il principio di sostituzione.
Questo problema è molto interessante e la divergenza del tempo si può far vedere anche in un altro modo (comunque però poco elementare ma spero interessante per chi riuscirà a seguirlo). L'energia cinetica è la differenza fra l'energia meccanica
e l'energia potenziale
:
 = E - U)
da cui otteniamo l'equazione differenziale
})
Sviluppando in serie di Taylor (ecco che tornano in mezzo le serie di Taylor)
)
con punto iniziale
(cioè il punto più alto, preso per semplicità come riferimento per gli angoli) abbiamo
 = U(0) + U_{\theta}(0) \theta + \frac{1}{2} U_{\theta \theta}(0) \theta^2 + \cdots)
Ora,
 = E)
perché nel punto più alto la velocità è nulla, inoltre
 = 0)
e
 < 0)
perché
è un punto di massimo per l'energia potenziale. Quindi
 \theta^2 > 0)
e ha perciò senso mettere
sotto radice. In più da questa approssimazione vediamo che
va come
, quindi nell'equazione differenziale abbiamo
}{mR^2}}\theta)
da cui, per separazione delle variabili
}} \frac{d \theta}{\theta} = dt)
Integrando si trova che il tempo diverge logaritmicamente.
Ci tengo a precisare che la dimostrazione non è mia, però volevo condividerla con voi.
Credo, ma non ne sono completamente certo, che questo risultato sia valido in generale, cioè che una particella non può raggiungere in tempi finiti un punto di equilibrio instabile, a velocità nulla (e ciò, dal punto di vista fisico, ha a che fare con la simmetria del tempo citata più sopra)
... non ero nemmeno convinto della mia soluzione, ma i passaggi matematici mi sembrano un bel po' complessi. 
con
è lo sviluppo del coseno con la serie di Taylor, per