Blocchetto con asta in rotazione (sistemi non inerziali)

[Davide90]

Bravo!!
La seconda parte si può fare più rapidamente osservando che in un sistema di riferimento rotante non inerziale come quello dell'asta abbiamo la componente della forza apparente in direzione tangenziale nota come Forza di Coriolis: quindi in direzione tangenziale vale l'equazione


Comunque il risultato è lo stesso che hai ottenuto tu ragionando sulll'aumento del momento angolare.

[Falco5x]

la forza esercitata dall'asta sul corpo risulta essere:
.
Trovo interessante il fatto che nell'istante iniziale questa equazione della forza restituisca un valore nullo: in realtà, a mio avviso, non è possibile applicarla correttamente in quanto a t=0 s l'oggetto è accelerato istantaneamente per raggiungere la velocità iniziale e quindi teoricamente in questo istante ci sarebbero un forza e un conseguente momento infiniti. Naturalmente è un assurdo, derivante dalle semplificazioni sul valore di immutabile e fisso anche nel momento dell'urto col blocchetto.

Non so se capisco bene queste tue osservazioni, ma quello che non condivido è la meraviglia riguardo al fatto che all'inizio la forza sia nulla.
Lo trovo invece un fatto perfettamente coerente se ragiono nel sistema rotante.
All'inizio la velocità relativa del corpo è nulla, poiché il corpo è tenuto fermo, dunque in queste condizioni nel sistema relativo abbiamo solo la forza centrifuga che è perfettamente radiale. Solo quando il corpo inizia a muoversi con velocità relativa diversa da zero allora si sviluppa la forza apparente di Coriolis ovvero , che essendo ortogonale alla velocità relativa è diretta ortogonalmente alla sbarra. Dunque, secondo me, nessuna meraviglia.

[Stardust]

"Meraviglia" è una parola un po' eccessiva. Probabilmente mi sono espresso in modo poco chiaro.
Diciamo che ho gettato uno sguardo all'indietro, ragionando -forse in modo non troppo corretto- su cosa sarebbe accaduto alle nostre previsioni in assenza dell'istantaneità
dell'acquisizione di velocità da parte del blocchetto a seguito dell'impatto con l'asta.
Il fatto che si verifichi è un ovvia conseguenza della nostra equazione risolutiva,
ma io volevo semplicemente sottolineare che se si considera il frangente in cui il blocco passa dallo stato di quiete iniziale ad avere una velocità tangenziale pari a
,
(senza che l'asta rallenti minimamente perchè la velocità angolare è costante),
bisogna concludere che questo cambiamento è avvenuto istantaneamente, grazie ad un momento di una forza di modulo teoricamente infinito.
Se così non fosse, dovremmo considerare una fase di accelerazione tangenziale (all'inizio) subita dal blocco e un rallentamento della rotazione dell'asta,
che avrebbero ripercussioni sulle nostre equazioni, costruite a partire dall'assunto ideale secondo cui
non appena il blocchetto è toccato dall'asta in , parte subito con la velocità .

[Stardust]

Recupero quest'argomento di qualche giorno fa per sottoporvi un quesito:
se volessimo adottare sin dall'inizio un sistema di riferimento inerziale, contemplando sia la rotazione del blocchetto che il suo
moto radiale, si potrebbe arrivare ad una legge oraria complessiva che ci dia istante per istante la posizione del corpo?
A occhio e croce l'oggetto descrive una traiettoria a spirale (o almeno simile alla spirale), come la si potrebbe definire?

[Falco5x]

Quando si conosce la legge oraria in un qualunque sistema di riferimento, per trovare la legge oraria in un altro sistema basta sostituire alle coordinate del primo sistema il loro valore in funzione delle coordinate del secondo sistema, e il gioco è fatto.

[Stardust]

Noi sappiamo che
e
.
Quindi possiamo scrivere x in funzione dell'angolo compiuto in rotazione dal blocchetto:
.
Questa è un'ovvietà, e vale solo nel sistema di riferimento non inerziale.
Il mio problema sta nell'individuare un'equazione oraria nel sistema di riferimento fisso, inerziale.
Stavo pensando di usare le coordinate polari, ma non le conosco molto bene.

[Gauss91]

Neanche io conosco bene le coordinate polari, ma provo ad arrivarci col ragionamento.
Pongo un sistema di riferimento inerziale con origine il centro di rotazione. Ad ogni tempo t, la distanza del corpo dall'origine e l'angolo che il corpo forma con l'origine sono dati da:

(1).
E' possibile quindi determinare ad ogni tempo le coordinate cartesiane x, y del corpo con le relazioni

.
Ricavando e sostituendo nella seconda si ottiene la (brutta) equazione cartesiana dell'orbita dell'oggetto, che non dovrebbe essere una spirale in quanto la distanza cresce "catenariamente" (non so se mi è permesso usare questo termine ).

Per quanto riguarda la legge oraria, dal sistema (1) in coordinate polari penso si possa passare alle cartesiane in questo modo:



in cui ho sfruttato l'identità di Eulero e il fatto che un numero complesso può essere visto come un vettore nel piano cartesiano. Se ho fatto qualcosa di illecito, fatemelo notare!

[Davide90]

Con le prime due equazioni scritte da Gauss91 si ottiene l'equazione in coordinate polari

che è l'equazione di una spirale logaritmica.