arrivare in cima in tempo finito...

[Ippo]

Abbiamo una massa m vincolata a muoversi su una circonferenza verticale di raggio R. Le imprimiamo una velocità orizzontale .
La massa arriverà mai (s'intende in un tempo finito) in cima alla traiettoria circolare?
Sapreste rispondere con argomenti elementari (senza discutere la convergenza di un integrale)?

(lo metto qui anziché in "problemi teorici" perché non è un vero e proprio problema, ma piuttosto una "curiosità" teorica.)

[Carmelo]

secondo me si. O almeno, sto rispondendo di sì ma... con un notevole imbroglio, probabilmente!
Mi è venuto da pensare questo... La conservazione dell'energia mi dice che la mia massa sale di un tratto , praticamente arrivando in cima alla circonferenza... E, al contrario, se la mia situazione iniziale è di avere la palina in cima alla circonferenza (in equilibrio instabile) e io la faccio muovere con la classica spinta infinitesima, essa arriverà in fondo con la velocità di cui sopra... simmetricamente a prima.
Quindi, sono autorizzato a pensare che il tempo che impiega a scendere è lo stesso che impiegherebbe a salire?

[Stardust]

Una volta che l'oggetto raggiunge la cima della traiettoria verticale ha velocità nulla, quindi viene a mancare l'accelerazione centrifuga che dovrebbe schiacciarlo contro la guida su cui si muove. Quindi il corpo non prosegue compiendo l'altra semicirconferenza in discesa, ma ,secondo me, cade verticalmente. Tutto sta nel vedere se il distacco del corpo dalla guida circolare avviene proprio nel punto di massima altezza, o una piccolissima frazione di spazio prima... Se fosse vera questa seconda possibilità allora la pallina non raggiungerebbe mai la cima nel vero senso della parola.
Questa è solo un'interpretazione (probabilmente fallace), ancora priva di una vera e propria conclusione.

[Gauss91]

Secondo me arriva in tempo infinito, dato che la velocità della pallina tende a zero ma allo stesso tempo anche l'accelerazione della pallina tende a zero. E per frenare un corpo ad un'accelerazione nulla, ci vuole infinito tempo.

[Ippo]

Quindi il corpo non prosegue compiendo l'altra semicirconferenza in discesa, ma ,secondo me, cade verticalmente..

Forse non sono stato del tutto chiaro... con "guida circolare" intendo che il corpo è vincolato sul cerchio, non può cadere o saltare via. Mettiamo che sia un anellino su un cerchio più grande, se volete. Comunque Carmelo ha esattamente colto il punto...ma è arrivato alla conclusione sbagliata

[Carmelo]

doh

[Ratio]

Quindi, sono autorizzato a pensare che il tempo che impiega a scendere è lo stesso che impiegherebbe a salire?

Credo che questo non possa essere dedotto da considerazioni sulla conservazione dell'energia... In fondo tutto quello che sappiamo è che avviene questo cambiamento di energia cinetica in potenziale, ma non ci è possibile discriminare tra un processo che effettua la stessa conversione in un secondo ed uno che lo effettua in un'ora, ad esempio.
Dovremmo impostare delle equazioni di cinematica per arrivarci matematicamente, ma questo condurrebbe, suppongo, proprio alla convergenza di un integrale che Ippo ci ha imposto di ignorare...

[Carmelo]

Dovremmo impostare delle equazioni di cinematica per arrivarci matematicamente, ma questo condurrebbe, suppongo, proprio alla convergenza di un integrale che Ippo ci ha imposto di ignorare...

si, le equazioni del moto si potrebbero pure derivare...

dato il momento della forza (in modulo) nella posizione



è l'equazione del moto... ma
1) non la so integrare e
2) non è decisamente un metodo elementare

[Stardust]

Se facciamo il paragone suggerito da Carmelo tra la fase di salita e quella di discesa, mi sorge spontaneo un dubbio.
Supponiamo che la pallina sia in cima in equilibrio instabile, bella ferma e tranquilla. Se niente e nessuno la disturba e non ci sono infinitesime vibrazioni, allora la sua energia potenziale gravitazionale U rimane intatta e non si converte assolutamente in energia cinetica K: in pratica non c'è moto e quindi potremmo dire che il tempo impiegato per scendere giù è infinito. Detto in modo diverso, significa che se la pallina non ha un' "aiutino" esterno, non raggiunge il fondo in tempo finito.
Guardando la situazione da un punto di vista capovolto, mi sembra logico (ma non contate troppo sulla mia logica ) che per raggiungere il punto di massima elevazione, non basti la stessa energia cinetica K, ma ne serva una K', appena più grande, così da avere in cima quella spinta extra, prima definita "aiutino", che nella discesa è necessaria per instaurare il moto.
In questo moto si verifica (?) che anche nella fase di salita non c'è sufficiente energia per raggiungere effettivamente la cima della guida.

[Ippo]

Ok, Stardust ci ha preso. In pratica se facessimo partire la pallina ad un istante e la vedessimo arrivare in cima ad un istante , la totale reversibilità delle leggi della meccanica ci direbbe che la scena al contrario è ugualmente possibile. Allora riavvolgendo il nastro dovremmo vedere una pallina ferma immobile in equilibrio instabile (è pur sempre equilibrio) che dopo un certo tempo finito si trova in fondo al cerchio, assurdo.

La forma del cerchio non ha nulla di particolare, basta che il punto in cui si vuole arrivare sia stazionario (derivata prima nulla).
Se volete la matematica (ma a questo punto non c'è più nulla di olimpico, è giusto per la cronaca), la strada più conveniente è usare la conservazione dell'energia:

da cui separando le variabili

L'integrale da fare è abbastanza schifoso ma sappiamo che non ci sono problemi ad arrivare arbitrariamente vicini a , quindi possiamo studiarlo anche solo per dove si ha
e ci troviamo che l'ultimo tratto, da a richiede un tempo
che in effetti è infinito.