Bene ho cominciato proprio col peide giusto...
Comunque stabiliamo questo sistema ancorandolo all'asta in rotazione orizzontale: il suo moto è associato ad una accelerazione, quindi il sistema non è inerziale. Fatta questa premessa, si passa a studiare il movimento del blocco rispetto all'asta:
appena c'è contatto con questa, il corpo assume la velocità tangenziale
, mentre si crea contestualmente una accelerazione che agisce nella direzione dell'asta, allontanando l'oggetto dall'asse di rotazione.
Questa acc. centrifuga è
=\omega^2\,x)
.
In realtà la posizione x è legata all'equazione oraria, quindi è più corretto scrivere:
=\omega^2\,[x(t)])
.
Sappiamo anche che l'accelerazione è la derivata seconda della legge oraria, quindi:
=\frac{d^2[x(t)]}{dt^2})
.
Se eguagliamo queste due relazioni si ha:
]}{dt^2}=\omega^2\,[x(t)])
.
Fino a un'oretta fa non avevo idea di come affrontare una situazione di questo genere, ma un'occhiata rapida alla parte finale del mio libro di matematica è stata decisamente salutare.
Questa è un'equazione differenziale di secondo ordine, in cui bisogna innanzi tutto sostituire la funzione e le sue derivate con un termine parametrico k elevato al grado della derivata secondo lo schema
=k^0=1)
]}{dt}=k)
]}{dt^2}=k^2)
.
Quindi si ha
]}{dt^2}-\omega^2\,[x(t)]=0)
.
La formula risolutiva di questa eq. differenziale è del tipo:
=c_1e^{k_1t}+c_2e^{k_2t})
.
Ovvero
=c_1e^{\omega t}+c_2e^{-\omega t})
.
Al tempo t=0s la velocità radiale del corpo è nulla e da ciò si osserva
=\frac{d[x(t)]}{dt}=c_1\omega e^{\omega t}-c_2\omega e^{-\omega t})
.
Essendo
=0)
si ha:
.
Poi dalla derivata seconda si può osservare che l'accelerazione a t=0s è
=\omega^2\,x_0)
, quindi
]}{dt^2}=\omega^2(c_1e^{\omega t}+c_2e^{-\omega t}))
,
da cui si arriva a
.
Perciò l'equazione finale del moto del blocco è:
=x_0\frac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2})
.
In realtà il rapporto presente nell'ultimo passaggio
equivale al coseno iperbolico (per me, un'altra scoperta odierna), perciò possiamo scrivere:
=x_0\,cosh(\omega t))
.
Spero questo sia il ragionamento corretto.
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
sono di una distrazione inconcepibile...