Rifrazione e riflessione

[Falco5x]

Inizio io a spiegare il mio metodo, allora.

Se l'osservatore è esattamente situato sovrapposto alla lampadina, non vi è dubbio che vede l'immagine riflessa lungo retta PP'. Adesso sposto l'osservatore di un piccolo tratto in orizzontale, stando sempre alla stessa distanza di 2,5 m dall'acqua, e determino la nuova retta secondo cui egli vede l'immagine riflessa. L'incontro di questa retta con la verticale di prima determina il punto P'.
Allora prendiamo un raggio di luce che esce dalla lampadina inclinato di un piccolo angolo . L'angolo deve essere abbastanza piccolo in modo che possa valere l'approssimazione .
Prendendo a riferimento la retta PP' come origine delle ascisse, questo raggio tocca la superficie dell'acqua a una distanza , entra nell'acqua con inclinazione , tocca lo specchio a una distanza . Poi nel tornare indietro esegue un cammino analogo, per cui uscendo dall'acqua sempre con inclinazione giunge all'occhio dell'osservatore (sempre situato a una altezza di 2,5m) a una ascissa .
Il raggio di ritorno verso l'occhio dell'osservatore fornisce la direzione dell'immagine apparente, per cui prolungando questo raggio fino a incontrare la retta PP' si nota che incontra questa a una distanza dallo specchio che chiamo d. Vista l'inclinazione di questo raggio, posso scrivere la seguente relazione: .
Come si nota l'angolo si può eliminare, per cui si conclude che, nei limiti delle approssimazioni fatte, il punto P' di formazione dell'immagine è indipendente da . Dalla relazione di cui sopra si ricava .
Se n=1,33, si ha d=3,5m.

[Stardust]

Ok, avevo dimenticato la seconda rifrazione in uscita dall'acqua, quindi il mio risultato andava bene solo per un osservatore immerso nella piscina.
Il metodo alternativo cui facevo riferimento in uno dei post precedenti riguarda l'uso della formula per la rifrazione con diottri sferici:
,
in cui p è la distanza dell'oggetto dal diottro, q è la distanza dell'immagine da esso, r è il raggio di curvatura della superficie.
La piscina è una superficie piana, quindi .
Chiamo e .
Si osserva che l'immagine prodotta dalla rifrazione è virtuale, perchè al di sopra dell'acqua
.
A questo punto si ha la riflessione con lo specchio, che crea un'altra immagine, sotto la sua superficie per una distanza
.
Per analogia con la soluzione (corretta) con l'altro metodo, provo a riusare la formula per le superfici sferiche, ricordando che a questo punto la distanza del punto rifratto e riflesso dalla superficie dell'acqua è:
.
Bisogna anche notare che il primo indice di rifrazione ora è quello dell'acqua, mentre il secondo è quello dell'aria.
Quindi:
.
Alla fine l'immagine, dopo questa rifrazione si forma ad una distanza dal pelo dell'acqua pari a:
.
Il segno meno ci ricorda che l'immagine rimane dal lato dell'acqua.
Togliendo a questo valore l'altezza dell'acqua si arriva allo stesso risultato:
sotto lo specchio.