Un resistore particolare.

[Pigkappa]

Un sistema è formato da due armature conduttrici: un'armatura interna cilindrica di raggio e lunghezza e un'armatura esterna a forma di guscio cilindrico di raggio interno , coassiale alla prima armatura ed avente la stessa lunghezza. Tra le due armature si mantiene una differenza di potenziale costante. Si trascurino sempre gli effetti di bordo.

Si supponga che lo spazio tra le armature sia riempito di un mezzo gassoso conduttore con conducibilità costante ed uniforme . In condizioni stazionarie, si osserva che tra le armature scorre una corrente.
a.) Calcolare, in tali condizioni, la densità di corrente tra le armature, la corrente e la resistenza del sistema.

Si supponga adesso che il mezzo gassoso abbia conducibilità non uniforme, dipendente dalla distanza dall'asse del sistema secondo la legge:

In condizioni stazionarie, si osserva che tra le armature scorre una corrente.
b.) Calcolare la resistenza del sistema.
c.) Calcolare il campo elettrico e la densità di carica nello spazio tra le armature.



Provenienza: http://www.df.unipi.it/~macchi/ (sezione teaching - classical electrodynamics - fisica b1A - archivio compiti di esame).
Difficoltà: Senigallia facile / Regionale difficile.

[Stardust]

Questa è la mia proposta di soluzione per la prima parte del problema.
Possiamo considerare lo strato gassoso che costituisce la resistenza come una succesione di resistori ad anello infinitesimi concentrici, disposti in serie tra loro.
La resistenza parziale dR di ognuno di essi, lungo dr, è:
,
dato che consideriamo come area il guscio cilindrico esterno di ogni strato().
Ora la somma di tutte queste resistenze si ottiene integrando, nell'intervallo che va da "a" a "b".
Quindi:
.
Dalla 1^ legge di Ohm sappiamo che

per cui l'intensità di corrente diventa:
.
Ora la densità di corrente J invece non è costante in tutto il dispositivo: se infatti cerchiamo il suo valore in prossimità del raggio esterno b otteniamo un risultato più basso di quello che abbiamo in prossimità del raggio interno a.
Comunque sia, sappiamo che , quindi si può per lo meno individuare questa densità per a e b:



e

.

E' un po' più particolare la seconda sezione del problema.

[Pigkappa]

La seconda parte non è più difficile, provaci!

[Stardust]

Si può ripetere il ragionamento fatto in precedenza usando la conducibilità variabile. Per un pezzo di resistore cilindrico infinitesimo vale la formula:

.

Si esegue l'integrale per calcolare la resistenza complessiva, sempre tra "a" e "b":

.

Sebbene anche in questo caso la densità di corrente sia variabile, l'intensità è costante, come la tensione applicata ai capi del resistore.

Sappiamo che

e che l'andamento della densità di corrente segue la legge:
.

A questo punto possiamo scrivere:
.

Introducendo il valore della resistenza R trovato in precedenza si verifica una relazione particolarmente interessante:

.

Eseguendo le semplificazioni del caso si ottiene la formula finale:
.

Ora sorge qualche dubbio su come risalire alla densità di carica "ne" nel gas senza coinvolgere la velocità di deriva degli elettroni.

[Rigel]

Un metodo che evita l'integrazione di resistenze infinitesime (ma non l'integrale ) è quello di partire dalla considerazione che la corrente è costante su tutto r, perchè non c'è accumulo di carica in uno statp stazionario. quindi si ottiene

e usando la legge di Ohm riscritta come si integra E per ottenere il potenziale. Nell'ipotesi che la corrente scorra dall'interno verso l'esterno, allora e quindi . Il segno - si ha da
Quindi e . Usando poi l'espressione di I si ha
Per la seconda parte credo che la densità di carica sia la densità volumica, cioè la carica per unità di volume.

[Pigkappa]

Mi pare che tu abbia sbagliato l'integrale, 1/a e 1/b dovrebbero essere elevati alla k, no?

Comunque, una volta che hai il campo elettrico devi saper risalire alla densità di carica, almeno quando hai qualche simmetria particolare: pensaci! (in realtà una delle equazioni di Maxwell in forma differenziale, ti permette di trovarla in generale, ma di solito, e anche in questo caso, bastano strumenti più elementari; per le Olimpiadi non siete tenuti a sapere cosa sia )

Per la seconda parte credo che la densità di carica sia la densità volumica, cioè la carica per unità di volume.

Sì, esatto (che coincide con la grandezza citata da Stardust, dove n è il numero di elettroni per unità di volume ed e la loro carica; sono simboli abbastanza standard).

[Stardust]

E' vero, mi è sfuggita la costante k nell'integrale, quindi la resistenza alla

fine risulta essere:
.
Di conseguenza il campo elettrico E si definisce correttamente come:
.
Provo ad usare la legge di Gauss in questa situazione, anche se non so se vale anche con contesti dinamici.
Proviamo a osservare che il flusso elettrico è:
.Dato che la carica totale risponde a quella contenuta in tutto il dispositivo, l'area che la racchiude è quella esterna, pari a: .
Inoltre, sapendo che il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie, si ha
.
A questo punto si può notare che
,
in cui W è il volume occupato dal gas all'interno del resistore, pari a:
.
Infine con si indica la costante dielettrica del gas.
Vediamo che succede inserendo queste considerazioni nella legge di Gauss:
, da cui:
.
Semplificando:
.
Dato che abbiamo considerato l'area per il raggio b mi sembra ragionevole adottare il campo elettrico presente in tale zona:
.
Di conseguenza la densità di carica ne vale
.
Questo significa che la densità di carica non dipende -almeno spero- dal raggio considerato ma è costante in tutto il volume W interno al resistore.

[Rigel]

in cui W è il volume occupato dal gas all'interno del resistore, pari a:

Questa equazione è non corretta anche dimensionalmente. Visto che la dipendenza da r c'è potrebbe essere utile considerare come superficie di Gauss un sottile guscio cilindrico lungo l, di raggio r e spessore dr, in cui si ha una variazione dE del campo elettrico e applicare Gauss.

[Stardust]

Ok, sono caduto nel vergognoso errore di scambiare una superficie per un volume: orrore!
Comunque seguo la strada indicatami da Rigel.
Quindi il flusso in un generico punto vale:
.
Non so bene dove inserire il valore dr, ma provo col metterlo solo all'interno dell'integrale che rappresenta il flusso totale:


da cui si ottiene:

.

A questo punto conviene eguagliare tale quantità con
,
tenendo bene in mente che il volume occupato dal gas è:
:

.
Rimettendo in ordine le parti contenenti i termini "a" e "b", si arriva alla formula conclusiva:
.
Come si potrebbe effettuare un controllo dimensionale su quest'equazione per sapere se il risultato è effettivamente espresso in ?

[Pigkappa]

Il flusso è definito una volta che hai fissato un campo e una superficie; il "flusso in un punto" non ha significato.

Il ragionamento corretto da fare è il seguente:

1)Per la simmetria (e per il fatto che trascuriamo gli effetti di bordo), è chiaro che la densità di carica può dipendere dalla distanza dall'asse del resistore, ma da niente altro. Quindi dobbiamo trovare la densità di carica in funzione della distanza dal centro, cioè (oppure, con i tuoi simboli, ).
2)Usiamo la legge di Gauss per calcolarla, nel seguente modo. Prendiamo una gaussiana cilindrica, con asse coincidente con quello del resistore, lunghezza , raggio di base , e usiamo la legge di Gauss per calcolare la carica interna; questa è tutta la carica a distanza minore di . Poi prendiamo una gaussiana come quella di prima, ma con raggio di base con molto piccolo, e usiamo di nuovo Gauss per calcolare la carica a distanza minore di . Facendo la differenza tra i due valori trovati, troveremo la carica tra e . Poichè la distanza dall'asse cambia molto poco passando da a , possiamo dire che la densità di carica è praticamente uniforme in questo tratto, e vale , che si può quindi calcolare.

Prova a svolgere i conti in questo modo.

Come si potrebbe effettuare un controllo dimensionale su quest'equazione

Beh, ogni volta che hai una lunghezza ci scrivi per "metri", al posto di ci scrivi (e poi scrivi anche J in metri, chilogrammi e secondi), al posto di scrivi la sua unità di misura, e poi semplifichi.