Premio Caianiello Problema n. 1 (2006)

[Stardust]

Il PREMIO CAIANIELLO è una gara di fisica e matematica rivolta agli studenti delle scuole superiori delle provincie di Salerno ed Avellino e organizzata dal Dipartimento di Fisica dell'Università di Salerno in onore di un importante fisico, Eduardo R. Caianiello.
Il testo seguente è quello del 1. problema dell'edizione del 2006. L'immagine allegata (scusate l'imprecisione della figura, è un prodotto artigianale) può chiarire le idee sulla situazione da anlizzare.

Una palla da tennis di massa m e raggio R impatta contro una parete, avendo una velocità iniziale diretta orizzontalmente, in modo perpendicolare al muro. Al suo interno c'è una pressione
.
L'urto,con una forza F, causa una piccola deformazione della pallina sferica: in pratica si crea uno schiacciamento di area A che, visto lateralmente, è rappresentato da una corda che taglia la circonferenza, mentre il centro del cerchio ha subito un spostamento dal punto O a quello C sempre lungo l'asse orizzontale, ponendo .
L'angolo indica l'angolo sotteso a metà di questa corda ed è molto minore di 1 (espresso in radianti): ciò introduce delle semplificazioni trigonometriche molto comode nei calcoli.
Bisogna:

a. dimostrare che ;

b. dimostrare che la forza è F=-kx (forza legata al moto armonico),
individuando il valore di k in funzione di R e ;

c. dimostrare che ,
e da ciò dimostrare che il tempo di contatto è pari a metà del periodo T di oscillazione del moto armonico del centro della pallina durante l'urto;

d. calcolare il valore della costante nell'equazione precedentemente descritta;

e. imponendo e
e
,
calcolare il tempo di contatto .

Il testo non parla esplicitamente di urto elastico, nè dà informazioni sulla pressione extra interna , sulla quale ho alcuni dubbi.

[pascal]

Se la pressione esterna dell’aria è e all’interno è , vuol dire che la pressione esercitata dalla membrana elastica della sfera è . Ma un involucro elastico esplica una pressione se è teso e curvo. Quando la palla viene schiacciata contro la parete, la forza elastica della sua superficie A nella direzione OC si annulla, perché la pellicola in A pur essendo tesa risulta piana. La modica deformazione implica una variazione di volume trascurabile e pertanto la pressione interna rimane , che è opposta alla pressione di reazione della parete. Ma dalla sinistra la sfera continua ad essere sollecitata da e quindi la forza che si scarica sulla sfera durante il contatto è .
Gli altri punti del problema mi sembrano più agevoli.

[antonir91]

in questi anni hai partecipato anke tu a quel concorso???

[pascal]

Vuoi scherzare? Con la tua età e la residenza nelle province richieste, avrei partecipato.

[antonir91]

mmmh mi riferivo di + a stardust visto che ha postato l'ersercizio