SNS n.3,2023

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 11 dic 2023, 13:00

Mi riferisco all'espansione binomiale di $(a+x)^n$ ponendo $a=1$ e $x=\frac{l}{R+L}$ ma non torna neppure così. Perchè? Fino a quale n? viene indipendente da l e non va bene...

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 11 dic 2023, 19:29

Data $T(l) = m[\omega^2(R+L+l)-\frac{GM}{(R+L+l)^2}]$ con l'approssimazione binomiale avrei ottenuto
$T(l)=m[\omega^2(R+L) - \frac{GM}{(1+\frac{2l}{R+L})(R+L)^2}]$
Sono su una strada sbagliata???

Messaggio da **Pigkappa** » 12 dic 2023, 1:33

Per poter sommare quei termini, devi portare tutti i termini in $\displaystyle l$ al numeratore.

Ti faccio un esempio. Come si approssima $\displaystyle (1+x) - \frac{1}{1+x}$ per $\displaystyle x \rightarrow 0$ ?

Il termine di sinistra $\displaystyle (1+x)$ è gia scritto in modo comodo, per quello di destra usiamo la formula per $\displaystyle \alpha = -1$ trovando $\displaystyle \frac{1}{1+x} = (1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ , quindi:

$\displaystyle (1+x) - \frac{1}{1+x} \approx (1+x) - (1-x) = 2x$

Dovrai fare la stessa cosa con l'espressione in $\displaystyle l$ , facendo attenzione a non semplificare $\displaystyle l$ troppo presto. Togliere $\displaystyle l$ fin da subito dall'espressione $\displaystyle \omega^2 (R+L+l)$ ti farà trovare il risultato sbagliato, sarebbe come trascurare subito il primo $\displaystyle x$ nella mia espressione.

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 12 dic 2023, 13:20

Io avevo capito che 1+x si approssima con 1 perchè nella somma x è trascurabile rispetto a 1 .Se invece ci fosse stato un fattore moltiplicativo si sarebbe lasciato.... comunque veniamo a T(l) dove il tuo x è rappresentato da $l/(R+L)$ . Abbiamo da semplificare $T(l) = m[\omega^2 (R+L)-\frac{GM}{(R+L)^2}] = m[\omega^2(1+\frac{l}{R+L})(R+L) - \frac{GM}{(1+\frac{l}{R+L})^2 ((R+L)^2}]= m[\omega^2(R+L).(1+\frac{l}{R+L}) - \frac{GM}{(R+L)^2}.(1-2\frac{l}{R+L}]$ ...E' così fino a qui??

Messaggio da **Pigkappa** » 12 dic 2023, 16:57

Higgs ha scritto: ↑
12 dic 2023, 13:20
Io avevo capito che 1+x si approssima con 1 perchè nella somma x è trascurabile rispetto a 1

E' esattamente il caso che ho descritto sopra:

Pigkappa ha scritto: ↑
9 dic 2023, 19:37
Ovviamente va fatto con attenzione... Ad esempio se compare la differenza tra due termini grandi [...] e non si può approssimare individualmente nei due termini...

Per quanto riguarda il tuo conto, non ho seguito per intero la discussione precedente, ma partendo dalla formula:
$\displaystyle T = m \left[\omega^2 (R+h) - \frac{GM}{(R+h)^2}\right]$
Si perturba $h \rightarrow h + l$ :
$\displaystyle T = m \left[\omega^2 (R+h+l) - \frac{GM}{(R+h+l)^2}\right]$
$\displaystyle T = m \left[\omega^2 (R+h+l) - \frac{GM}{(R+h)^2(1+\frac{l}{R+h})^2}\right]$
$\displaystyle T = m \left[\omega^2 (R+h+l) - \frac{GM}{(R+h)^2} (1+\frac{l}{R+h})^{-2}\right]$
$\displaystyle T \approx m \left[\omega^2 (R+h+l) - \frac{GM}{(R+h)^2} (1-2\frac{l}{R+h})\right]$

Mi aspetto che i termini che non moltiplicano $l$ sommino a zero per cui che sia $\omega^2(R+h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$
E se non sbaglio viene fuori che:
$\displaystyle T \approx \frac{3GMm}{(R+h)^3} l$

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 12 dic 2023, 17:33

Pigkappa ha scritto: ↑
12 dic 2023, 16:57
Mi aspetto che i termini che non moltiplicano $l$ sommino a zero per cui che sia $\omega^2(R+h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$
E se non sbaglio viene fuori che:
$\displaystyle T \approx \frac{3GMm}{(R+h)^3} l$

Confermo il tuo risultato. Si noti come, sostituendo la lunghezza $h = L = \sqrt[3] {\frac{GM}{\omega^2}}-R$ (trovata al punto $(a)$ ) per cui vi sia equilibrio tra forza centrifuga e forza gravitazionale, sia possibile semplificare ulteriormente (esprimendola in funzione dei soli dati forniti dal testo) tale espressione valida per $l \ll L$ :

$T \approx \frac{3GMm}{(R+h)^3} l$ $\implies \$ $T \approx \frac{3GMm}{\left(\cancel{R}+\sqrt[3] {\dfrac{GM}{\omega^2}}-\cancel{R}\right)^3} l = \frac{3GMm}{\left(\sqrt[3] {\dfrac{GM}{\omega^2}}\right)^3} l = \frac{3\cancel{GM}m}{\dfrac{\cancel{GM}}{\omega^2}} l$ $\implies \$ $T \approx 3m \omega^2 l$

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 12 dic 2023, 19:22

Sono contento di aver trovato l'approssimazione giusta come afferma Pigkappa. Usando l'approssimazione di Tarapia e considerando l=100 km dalla sezione con raggio 5 cm, si potrebbe ottenere la trazione della sezione occorrente che però mi verrebbe 2 .m $10^{-1} N/m^2$ che dovrebbe essere minore di quella disponibile di un nanotubo pari a $10^{11}N/m^2$ Per cui m< $10^{12}kg$ mi pare troppo abbondante. Mi sa che sbaglio???

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 12 dic 2023, 20:12

Higgs ha scritto: ↑
12 dic 2023, 19:22
Sono contento di aver trovato l'approssimazione giusta come afferma Pigkappa. Usando l'approssimazione di Tarapia e considerando l=100 km dalla sezione con raggio 5 cm, si potrebbe ottenere la trazione della sezione occorrente che però mi verrebbe 2 .m $10^{-1} N/m^2$ che dovrebbe essere minore di quella disponibile di un nanotubo pari a $10^{11}N/m^2$ Per cui m< $10^{12}kg$ mi pare troppo abbondante. Mi sa che sbaglio???

Vorrei innanzitutto vedere quale espressione simbolica tu ottenga per $m_{\text{max}}$ , ma il tuo risultato non si discosta di molto dal mio, $m \leq m_{\text{max}} \approx 5 \times 10^{11} \mathrm{kg}$ . Non credo bisogni preoccuparsi eccessivamente di un'apparente sovrastima del valore massimo della massa del contrappeso: ciò che dev'essere dimensionato è, invece, il valore massimo della trazione di snervamento, che solitamente non supera l'ordine di $10^{11} \mathrm{Pa}$ (nella mia consueta risoluzione finale, fornirò un esempio numerico che comprovi l'impossibilità di ottenere valori massimi di stress superiori a qualche centinaio di $\mathrm{GPa}$ ).

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 13 dic 2023, 13:09

L'espressione della forza T(l) che coincideva con quella di Pigkappa era $T(l)= \frac {3GMml}{(R+L)^3} N$ che poi Tarapia ha ulteriormente semplificato in $T(l)\sim 3m\omega^2 l N$ e che io ho utilizzato per avere una forza di trazione corrispondente a l=100 km $\frac{3m\omega^2 l}{3.(d/2)^2}N/m^2=\frac{3m. 49. 10^{-10}.10^5}{3.25.10^{-4}}= 2m.10^{-1} N/m^2$ Si tratta della trazione occorrente che deve essere minore della trazione di rottura di un nanocubo pari a $10^{11}N/m^2$ ovvero $m\leq \frac{10^{11}}{2.10^{-1}}=5.10^{11}kg$
Tarapia ma non è uguale al tuo?

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