Higgs ha scritto: ↑29 nov 2023, 19:08
a) sia b>>a. La distanza che determina l'intensità della forza può essere ritenuta in entrambi i casi
ma le componenti orizzontali repulsive cioè dirette come
possono per qualche b prevalere perchè come si vede possono essere maggiori di quelle attrattive che "terminano prima" delle altre e con rilevanti componenti verticali che si elidono. Le componenti repulsive invece hanno componenti verticali minori e che diminuiscono fino ad annullarsi a
. Quindi possono esistere valori di b per cui la risultante totale è diretta come
.
No, questa considerazione è errata. In accordo al Teorema di Thomson per l'elettrostatica, le cariche indotte in un oggetto metallico si dispongono sempre in modo da minimizzare l'energia elettrostatica totale del sistema: un corollario di tale enunciato è quello per il quale l'energia elettrostatica di un sistema composto da un oggetto metallico e da una carica è sempre inferiore all'energia della carica nel
vuoto. Indicando con
)
l'energia elettrostatica del sistema quando la carica si trova in posizione
)
, si conclude che
 \leq U(\infty) = 0)
per cui
 = -\frac{\mathrm{d}U(b)}{\mathrm{d}b})
deve essere negativa, cioè
attrattiva (dal momento che si è considerato positivo il verso in cui è diretta la forza quando è repulsiva) per
grande (ovvero, per
). Il calcolo prettamente analitico e quantitativo di
e
)
non soltanto avvalora la tesi secondo cui
è attrattiva per
, ma addirittura identifica in
l'esatto valore in cui la derivata di
rispetto a
, ergo
)
, cambia segno: tale forza è attrattiva non solo per
, ma anche per
, cioè per tutti i valori di
strettamente maggiori del raggio
del semicerchio.
I risultati esatti sono:
 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \ln \left[\dfrac{2 - \dfrac{4a^2}{(a+b+\sqrt{a^2+b^2})^2}}{1+ \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\right])
,
= - \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{\left(1 + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)}{\left[2 - \dfrac{4 a^2}{(a + b + \sqrt{a^2 + b^2})^2}\right]} \left\{\dfrac{8 a^2}{(a + b + \sqrt{a^2 + b^2})^3} - \dfrac{\left[\dfrac{a^2}{(a^2+b^2)\sqrt{a^2 + b^2}}\right] \left[2 - \dfrac{4 a^2}{(a+b+\sqrt{a^2 + b^2})^2}\right]}{\left(1+\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2}\right\}\hat{z})
.
Benché il metodo per calcolare in forma chiusa tali due grandezze fisiche sia abbastanza complesso (lo esporrò nel mio consueto procedimento), è già possibile verificare ciò che io e @Pigkappa abbiamo affermato riguardo al carattere attrattivo-repulsivo della forza elettrostatica in esame.
Higgs ha scritto: ↑29 nov 2023, 19:08
b) sia 0<b<a . Quando
praticamente la forza attrattiva è tutta verticale e si elide mentre quella repulsiva conserva una apprezzabile componente orizzontale massima a
dove scompare quella verticale. Anche in questo caso possono esistere valori di b che rendono la forza totale diretta come
.
Ai pensionandi la sentenza tenendo conto del liceale in sede d'esame...
Corretto. Non solo "possono esistere valori di
che rendono la forza totale diretta come
": in questo caso particolare,
è repulsiva per tutti i valori di
tali che
.
Higgs ha scritto: ↑30 nov 2023, 12:45
ci possono essere valori di b per cui la repulsione prevale sull'attrazione come implicitamente suggeriva il testo. Perché sennò avrebbe chiesto di indagare quella zona di b>>a come quella di b<a?
Per
, non esiste alcun valore di
per cui la repulsione possa prevalere sull'attrazione. Inoltre, il testo non suggerisce affatto - nemmeno implicitamente - che esistano valori di
per cui la forza possa essere repulsiva
in entrambi i casi proposti: non v'è alcuna connessione logico-deduttiva tra la domanda circa la valutazione della possibilità della forza di essere repulsiva per qualche
e la successiva richiesta di analisi dei due casi particolari. Infatti, poiché
solitamente la forza elettrostatica tra una carica puntiforme e un perfetto conduttore metallico neutro è attrattiva, il problema introduce un elemento di estraneità alla consuetudine fisica, chiedendo se la situazione presentata possa costituire un contro-esempio dal quale scaturisca un'eventualità che detta forza sia - invece - repulsiva. L'introduzione dei due casi particolari permette - giustamente - di distinguere, nel modello fisico, due condizioni facilitanti:
sta per "
piccola",
sta per "
grande".
Higgs ha scritto: ↑2 dic 2023, 18:51
2)Non occorre investigare
giacchè b>>a non significa che b diverga
Quest'affermazione è inesatta. Anche se fosse vero che l'analisi della condizione
non sia necessariamente corrispondente alla disamina del caso
(giacché, come viene correttamente rilevato,
non implica sempre
), sarebbe comunque assolutamente sbagliato asserire che non occorra investigare
: quest'ultima è una condizione molto importante per lo svolgimento di questo problema e di molti altri ad esso simili. Infatti, poiché l'energia elettrostatica
del sistema è proporzionale all'integrale di volume di
,
,
si conclude che essa è uguale a quella di una carica puntiforme nel vuoto, ovvero che l'energia elettrostatica a
è identica all'energia a distanza infinita:
 = U(b\rightarrow \infty) = 0)
. L'esistenza di un regime repulsivo è una diretta conseguenza delle precedenti considerazioni, in quanto l'energia
deve variare in maniera non monotòna tra
e
, dunque dev'essere repulsiva in qualche punto intermedio. Ecco che l'investigazione di
permette di asseverare l'ipotesi di repulsività, allo stesso modo con cui - tramite il Teorema di Thomson - ha consentito di riconoscere nella forza un carattere totalmente attrattivo quando
.
