Pompa per la bicicletta

Messaggio da **Pigkappa** » 11 ott 2023, 22:54

Una pompa per le ruote di una bicicletta funziona come illustrato nella figura sotto. Quando si tira in alto la manopola della pompa, la canna cilindrica si riempie di aria dall'esterno, che entra da una valvola unidirezionale. Quando si spinge in basso la manopola, l'aria si comprime nel tubo, finché la sua pressione non raggiunge quella della camera d'aria connessa alla pompa. A quel punto, un'altra valvola unidirezionale permette all'aria di andare dalla pompa dentro la camera d'aria.

Si assuma che ogni compressione sia isoterma, come se si spingesse la manopola molto lentamente, cosi' che la temperatura rimanga in equilibrio con l'ambiente esterno. Si assuma inoltre che non ci siano perdite d'aria ne' dalla pompa, ne' dalla camera d'aria.

Il volume della canna di una pompa e' $\displaystyle V_P = 0.3$ litri; la pompa e' connessa ad una camera ad aria di volume $\displaystyle V_C = 4.5$ litri. Si assuma che la camera ad aria sia poco flessibile, per cui il suo volume non aumenta significativamente mentre la si gonfia. Inizialmente la pressione nella camera ad aria eguaglia la pressione atmosferica $\displaystyle p_A = 101.3$ kPa.

1.) Usando la pompa, spingi la manopola in giu e poi in su 4 volte, cosi' da trasferire aria 4 volte dalla pompa a camera d'aria. Dopo che lo hai fatto, qual e' la pressione nella camera d'aria?
2.) Potresti immaginare di avere una pompa grande 4 volte tanto quella che hai a disposizione, con la quale dovresti premere sulla manopola una sola volta per riempire la camera d'aria. Se $\displaystyle L_1$ e' il lavoro fatto per riempire la camera d'aria con quattro compressioni della pompa piccola e $\displaystyle L_2$ quello della pompa grande quanto vale il lavoro extra richiesto nel primo caso, $\displaystyle L_1 - L_2$ ?

Immagine

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 13 ott 2023, 22:46

Pigkappa ha scritto: ↑
11 ott 2023, 22:54
Una pompa per le ruote di una bicicletta funziona come illustrato nella figura sotto. Quando si tira in alto la manopola della pompa, la canna cilindrica si riempie di aria dall'esterno, che entra da una valvola unidirezionale. Quando si spinge in basso la manopola, l'aria si comprime nel tubo, finché la sua pressione non raggiunge quella della camera d'aria connessa alla pompa. A quel punto, un'altra valvola unidirezionale permette all'aria di andare dalla pompa dentro la camera d'aria.

Si assuma che ogni compressione sia isoterma, come se si spingesse la manopola molto lentamente, cosi' che la temperatura rimanga in equilibrio con l'ambiente esterno. Si assuma inoltre che non ci siano perdite d'aria ne' dalla pompa, ne' dalla camera d'aria.

Il volume della canna di una pompa e' $\displaystyle V_P = 0.3$ litri; la pompa e' connessa ad una camera ad aria di volume $\displaystyle V_C = 4.5$ litri. Si assuma che la camera ad aria sia poco flessibile, per cui il suo volume non aumenta significativamente mentre la si gonfia. Inizialmente la pressione nella camera ad aria eguaglia la pressione atmosferica $\displaystyle p_A = 101.3$ kPa.

1.) Usando la pompa, spingi la manopola in giu e poi in su 4 volte, cosi' da trasferire aria 4 volte dalla pompa a camera d'aria. Dopo che lo hai fatto, qual e' la pressione nella camera d'aria?
2.) Potresti immaginare di avere una pompa grande 4 volte tanto quella che hai a disposizione, con la quale dovresti premere sulla manopola una sola volta per riempire la camera d'aria. Se $\displaystyle L_1$ e' il lavoro fatto per riempire la camera d'aria con quattro compressioni della pompa piccola e $\displaystyle L_2$ quello della pompa grande quanto vale il lavoro extra richiesto nel primo caso, $\displaystyle L_1 - L_2$ ?

I miei risultati sono:
1.) $p \ (n=4) = p_A \left(1+ 4 \frac{V_P}{V_C} \right) \approx 128.3 \ \mathrm{kPa}$
2.) $L_1 - L_2 = 0$ .

Pubblicherò il mio procedimento più avanti, non appena avrò maggior tempo libero per sistemare e riordinare tutti gli svolgimenti che mi sono prefissato di pubblicare sui vari threads.

Messaggio da **Pigkappa** » 14 ott 2023, 0:01

I risultati sono giusti

Il motivo per cui ho postato il problema è che non ho trovato una soluzione intuitiva per la parte 2, che non richieda di fare conti, se ti viene in mente fammi sapere

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 14 ott 2023, 0:04

Pigkappa ha scritto: ↑
14 ott 2023, 0:01
I risultati sono giusti

Il motivo per cui ho postato il problema è che non ho trovato una soluzione intuitiva per la parte 2, che non richieda di fare il conto, se ti viene in mente fammi sapere

Ho risolto il punto 2.) del problema utilizzando due procedimenti differenti, tra cui v'è anche un metodo grossomodo intuitivo. Ovviamente, li includerò entrambi nella mia risoluzione...

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 14 ott 2023, 17:37

1.) A parità di volume e temperatura la pressione è proporzionale al numero di moli di aria nella camera. All'inizio la pressione è di una atmosfera, $p_0= 101,3 kPa$ . Pertanto si può dire essendo il volume di 4,5 litri che $101,3: 4,5 = p_1 : 4,8$ essendo affluiti nella camera altri 0,3 litri di aria. Si trova $p_1= 108,3 kPa$ . Analogamente da $108,3:4,8 =p_2:5,1$ che $p_2= 115,06 kPa$ . E allora con lo stesso metodo si trovano $p_3=121,83 ; p_4= 128,60 kPa$ . Pertanto 1.) la pressione finale nella camera d'aria risulta $p_4=128,60 kPa$ un risultato conforme a quello di Tarapia.
2.) Per quanto riguarda il lavoro compiuto nel caso delle quattro ricariche di aria ciascuna di 0,3 litri nel volume di 4,5 litri oppure di una ricarica di aria da 1,2 litri nel volume di 18 litri. Intuitivamente penso che si tratti dello stesso lavoro perché si tratta da una parte del lavoro necessario a comprimere 4 volte 0,3 litri di aria per volta e dall'altra di quello occorrente per comprimere una volta 1,2 litri, cioè $0,3\times 4$ (partendo dalla stessa pressione iniziale della camera cioè un'atmosfera).

Messaggio da **Pigkappa** » 17 ott 2023, 0:41

Higgs ha scritto: ↑
14 ott 2023, 17:37
Intuitivamente penso che si tratti dello stesso lavoro perché si tratta da una parte del lavoro necessario a comprimere 4 volte 0,3 litri di aria per volta e dall'altra di quello occorrente per comprimere una volta 1,2 litri, cioè $0,3\times 4$

Non dico che sia sbagliato... Ma a me non pare così intuitivo. Finché non ho fatto il conto esteso, non me ne sono convinto.

Ad esempio, il lavoro che si fa nella prima compressione su quattro del primo caso, non è uguale al lavoro che si fa nel comprimere di un quarto la pompa nel secondo caso.

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 17 ott 2023, 22:07

Pigkappa ha scritto: ↑
11 ott 2023, 22:54
Una pompa per le ruote di una bicicletta funziona come illustrato nella figura sotto. Quando si tira in alto la manopola della pompa, la canna cilindrica si riempie di aria dall'esterno, che entra da una valvola unidirezionale. Quando si spinge in basso la manopola, l'aria si comprime nel tubo, finché la sua pressione non raggiunge quella della camera d'aria connessa alla pompa. A quel punto, un'altra valvola unidirezionale permette all'aria di andare dalla pompa dentro la camera d'aria.

Si assuma che ogni compressione sia isoterma, come se si spingesse la manopola molto lentamente, cosi' che la temperatura rimanga in equilibrio con l'ambiente esterno. Si assuma inoltre che non ci siano perdite d'aria ne' dalla pompa, ne' dalla camera d'aria.

Il volume della canna di una pompa e' $\displaystyle V_P = 0.3$ litri; la pompa e' connessa ad una camera ad aria di volume $\displaystyle V_C = 4.5$ litri. Si assuma che la camera ad aria sia poco flessibile, per cui il suo volume non aumenta significativamente mentre la si gonfia. Inizialmente la pressione nella camera ad aria eguaglia la pressione atmosferica $\displaystyle p_A = 101.3$ kPa.

1.) Usando la pompa, spingi la manopola in giu e poi in su 4 volte, cosi' da trasferire aria 4 volte dalla pompa a camera d'aria. Dopo che lo hai fatto, qual e' la pressione nella camera d'aria?
2.) Potresti immaginare di avere una pompa grande 4 volte tanto quella che hai a disposizione, con la quale dovresti premere sulla manopola una sola volta per riempire la camera d'aria. Se $\displaystyle L_1$ e' il lavoro fatto per riempire la camera d'aria con quattro compressioni della pompa piccola e $\displaystyle L_2$ quello della pompa grande quanto vale il lavoro extra richiesto nel primo caso, $\displaystyle L_1 - L_2$ ?

Per analizzare il modello fisico del problema, appare congeniale riferirsi all'azione della pompa mediante il termine corsa. In meccanica, una corsa rappresenta il completamento del movimento del pistone lungo la distanza tra il punto morto superiore e il punto morto inferiore all'interno della canna cilindrica: pertanto, si parla di una corsa quando il pistone passa da un punto morto all'altro. Essa riguarda la distanza tra la linea tracciata dal sollevamento della manopola fino a quando il pistone non raggiunge il punto più alto e la linea tracciata dall'abbassamento della manopola fino a quando il pistone non si contrae al punto più basso.

1.) Siano $m_P$ il numero di moli di aria iniettate dalla pompa in ogni corsa e $m_{C_{\text{iniziale}}}$ il numero iniziale di moli di aria nella camera. Allora, dalla legge dei gas perfetti:

$p_{A} V_P = m_PRT \Rightarrow \ m_P=\frac{p_{A}V_P}{RT}$
e
$p_{A} V_C = m_{C_{\text{iniziale}}}RT \Rightarrow \ m_{C_{\text{iniziale}}}=\frac{p_{A}V_C}{RT}$ .

Dopo l' $n$ -esima corsa, il numero di moli d'aria nella camera è:

$m_n=m_{C_{\text{iniziale}}} + m_n^{\text{tot}}$ , dove $m_n^{\text{tot}} = n m_P$ .

Pertanto, sostituendo $m_P$ e $m_{C_{\text{iniziale}}}$ :

$m_n = \frac{p_{A}V_C}{RT}+n \frac{p_{A}V_P}{RT}= \frac{p_{A}(V_C+nV_P)}{RT}$ .

Per la legge dei gas perfetti, la pressione nella camera dopo $n$ corse è pari a:

$p_n V_C = m_n R T \Rightarrow \ p_n = \frac{m_nRT}{V_C}$ .

Sostituendo $m_n$ :

$p_n =\frac{m_nRT}{V_C} \Rightarrow \ p_n = p_{A}\frac{(V_C+nV_P) \cancel{RT}}{V_C \cancel {RT}} = p_{A}\frac{(V_C+nV_P)}{V_C}$ .

In definitiva, distribuendo il denominatore sui due addendi del numeratore:

$p_n = p_{A} \left(\frac{\cancel{V_C}}{\cancel{V_C}}+\frac{nV_P}{V_C}\right) \Rightarrow \ \boxed{p_n = p_{A}\left(1+n\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Il trasferimento di aria per quattro volte dalla pompa alla camera d'aria equivale al compimento di $n = 4$ corse. Pertanto, sostituendo $n = 4$ , si ha:
$\color{Red}\boxed{\color{Black} p_4 = p \ (n=4) = p_A \left(1+ 4 \frac{V_P}{V_C} \right)}$ .

Risolvendo numericamente per $p_n$ e approssimando alla prima cifra significativa dopo il punto, si ottiene:

$p_4 = p \ (n=4) = p_A \left(1+ 4 \frac{V_P}{V_C} \right)$ $\Rightarrow \ p_4 = p \ (n=4) = 101.3 \ \mathrm{kPa} \left(1+ 4 \times \frac{0.3 \ \cancel{\mathrm{L}}} {4.5 \ \cancel{\mathrm{L}}} \right) \approx 128.3 \ \mathrm{kPa}$

2.) Metodo 1 (prevalentemente calcoloso)

Si consideri il sistema formato dall'aria che si trovava inizialmente nel contenitore unita all'aria dell'atmosfera che alla fine sarà pompata nel serbatoio. Si indichi con $L_1$ il lavoro svolto da quattro corse consecutive della pompa piccola e con $L_2$ il lavoro compiuto da una sola corsa della pompa grande: ciascuno dei lavori $L_1$ e $L_2$ si può equivalentemente riferire al lavoro compiuto sul sistema del gas precedentemente definito dal pistone della pompa, o al lavoro svolto dall'operatore che spinge il pistone (cfr. Osservazione. per un chiarimento), ed è da considerarsi positivo (cfr. Nota 2. per un approfondimento) in quanto l'aria nella pompa viene compressa.
L'equazione del lavoro $L$ per un gas ideale a temperatura costante è:

$\mathrm{d}L=p\mathrm{d}V = \frac{mRT}{V}\mathrm{d}V$ , da cui:

$\int_{0}^{L}\mathrm{d}L = \int_{V_i}^{V_f}\frac{mRT}{V} \mathrm{d}V$ $\Rightarrow \$ $\bigg[L \bigg]_{0}^{L} = mRT\int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\mathrm{d}V$ $\Rightarrow \$ $L = mRT \bigg[\ln V \bigg]_{V_i}^{V_f}$ $\Rightarrow \$ $|L| = mRT \ln \left (\frac{V_f}{V_i}\right) \Rightarrow L = \pm \ mRT \ln \left (\frac{V_f}{V_i}\right)$ ,

dove i pedici $i$ e $f$ si riferiscono agli stati iniziale e finale del processo esperito dal sistema, rispettivamente.

$A)$ La formula $\mathrm{d}L = p\mathrm{d}V$ fornisce il lavoro compiuto dall'aria all'interno della pompa sul pistone, con contributo negativo (si noti che la variazione $\mathrm{d}V$ del sistema è negativa per una compressione). Per una compressione isoterma ( $V_f < V_i$ ), l'integrazione di questa formula porta a $L = nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) < 0$ che, come si può notare, è anch'esso negativo poiché $V_f$ è minore di $V_i$ .

$B)$ Il lavoro svolto sull'aria nella pompa dal pistone è dato da $\mathrm{d}L = -p \mathrm{d}V$ , che produce $L = - nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \Rightarrow \ L = nRT\ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right) > 0$ . Per una compressione isoterma ( $V_i > V_f$ ), tale lavoro è positivo. In accordo alla situazione fisica in esame, bisogna considerare questo particolare caso.

Ogni corsa $n$ (con $n \neq 1$ ) prevede $2$ fasi, contrassegnate con $(1)$ e $(2)$ .

$(1)$ Compressione delle $m_P$ moli nel cilindro da una pressione $p_{A}$ a una pressione $p_{n-1}$ ;

$(2)$ Compressione di $m_n$ moli nella pompa e nel cilindro da una pressione $p_{n-1}$ a una pressione $p_n$ .

Ad eccezione della prima corsa (in cui le pressioni iniziali nella pompa e nel contenitore sono entrambe pari a quella atmosferica $p_A$ ), benché la pressione dell'aria nella pompa inizi alla pressione $p_A$ , la pressione nel serbatoio inizia a una pressione $p > p_A$ superiore a $p_A$ . Pertanto, nella prima parte della corsa, il gas contenuto nella pompa viene compresso fino al raggiungimento della pressione nel contenitore (senza che l'aria entri nel contenitore): a questo punto, la valvola di ritegno (la cosiddetta check valve, ovvero la valvola di non ritorno o di antiriflusso) presente nella camera può aprirsi e l'aria può entrare nel contenitore; durante questa seconda parte della corsa, la pressione dell'aria nella pompa e la pressione dell'aria nel contenitore aumentano simultaneamente. La corsa complessiva è dunque composta da due parti distinte e l'equazione del lavoro effettuato in ciascuna di esse è differente.

Si analizzino, in primo luogo, le quattro corse della pompa piccola.

Prima corsa ( $n = 1$ )

In tale corsa, la pressione all'interno della pompa e quella all'interno del serbatoio possiedono, inizialmente, lo stesso valore $p_A$ , pari alla pressione atmosferica. Il volume iniziale è dato dalla somma $V_C + V_P$ tra il volume $V_C$ del recipiente e il volume $V_P$ della canna della pompa piccola; il volume finale, invece, è pari al solo volume $V_C$ della camera. Dunque, il lavoro compiuto dalla prima corsa della pompa piccola è pari a:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{prima corsa}}= (m_P \ + \ m_{C_{\text{iniziale}}}){RT}\ln{\frac{V_C+V_P}{V_C}} = (m_P \ + \ m_{C_{\text{iniziale}}}){RT}\ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)$ .

Inoltre, dalla legge dei gas ideali:

$p_{A}(V_C+V_P) = (m_P+m_{C_{\text{iniziale}}}) RT$ .

Dunque, il lavoro $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{prima corsa}}$ durante la prima corsa è dato da:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{prima corsa}} =p_{A}(V_C+V_P) \ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) \Rightarrow \ \boxed{\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{prima corsa}} =p_{A}V_C \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Infine, dalla legge dei gas perfetti, la pressione $p_1 = p \ (n = 1)$ nella camera alla fine della prima corsa è data da:

$p_A (V_C + V_P) = p \ (n = 1) \ V_C$ $\Rightarrow$ $p \ (n = 1) = p_{A}\frac{V_C+V_P}{V_C}$ $\Rightarrow$ $p_1 = p \ (n =1) = p_A \left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)$ ,

coerentemente con la formula trovata al punto 1.).

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Seconda corsa ( $n = 2$ )

$(1)$ Nella prima fase della seconda corsa, il gas, da una pressione iniziale $p_A$ pari a quella atmosferica, viene compresso fino a quando la sua pressione non corrisponde a quella presente nel serbatoio alla fine della prima corsa, cioè $p_1 = p \ (n=1) = p_A \left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)$ . Alla fine di questa fase, il volume della pompa si è ridotto da un volume iniziale $V_P$ pari a quello della canna della pompa piccola, a un volume $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (1)}} < V_P$ pari a, per la legge dei gas perfetti:

$p_A V_P = p_A \left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right) \overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (1)}}$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (1)}} = V_P \frac{1}{\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Dunque, il lavoro per comprimere il gas nella fase $(1)$ della seconda corsa è dato da:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (1)}} = p_{A}V_P \ln\left(\frac{\cancel{V_P}}{\cancel{V_P} \frac{1}{\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)}}\right)$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (1)}} = p_{A}V_P \ln\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)$

Immagine

$(2)$ Nella seconda fase della seconda corsa, la pressione iniziale è $p_1 = p \ (n=1) = p_A \left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)$ , mentre la pressione finale è $p_2 =p \ (n=2) = p_A \left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)$ . Il volume finale è pari al volume $V_C$ della camera d'aria, mentre quello iniziale $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}}$ , dalla legge dei gas ideali, è pari a:

$p_A \left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right) \overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}} = p_A \left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right) V_C$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}} = V_C \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Dunque, il lavoro $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}}$ nella seconda fase della seconda corsa è:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}} = p_A \cancel{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)} V_C \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\cancel{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)}} \ln{\frac{\cancel{V_C} \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)}}{\cancel{V_C}}$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}} = p_A V_C \left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)}$

Immagine

Il lavoro totale $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa}}$ svolto dalla seconda corsa della pompa piccola è dato dalla somma dei contributi di lavoro effettuati durante le due fasi della corsa:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa}} = \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (1)}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa \ (2)}}$ $\Rightarrow \$
$\Rightarrow \$ $\boxed{\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa}} = p_A \left[V_P \ln\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)} \right]}$

Terza corsa ( $n=3$ )

$(1)$ Nella prima fase della terza corsa, il gas, da una pressione iniziale $p_A$ pari a quella atmosferica, viene compresso fino a quando la sua pressione non corrisponde a quella presente nel serbatoio alla fine della seconda corsa, cioè $p_2 = p \ (n=2) = p_A \left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)$ . Alla fine di questa fase, il volume della pompa si è ridotto da un volume iniziale $V_P$ pari a quello della canna della pompa piccola, a un volume $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (1)}} < V_P$ pari a, per la legge dei gas perfetti:

$p_A V_P = p_A \left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right) \overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (1)}}$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (1)}} = V_P \frac{1}{\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Dunque, il lavoro per comprimere il gas nella fase $(1)$ della terza corsa è dato da:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (1)}} = p_{A}V_P \ln\left(\frac{\cancel{V_P}}{\cancel{V_P} \frac{1}{\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right)}}\right)$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (1)}} = p_{A}V_P \ln\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right)$

Immagine

$(2)$ Nella seconda fase della terza corsa, la pressione iniziale è $p_2 = p \ (n=2) = p_A \left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)$ , mentre la pressione finale è $p_3 = p \ (n=3) = p_A \left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)$ . Il volume finale è pari al volume $V_C$ della camera d'aria, mentre quello iniziale $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}}$ , dalla legge dei gas ideali, è pari a:

$p_A \left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right) \overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}} = p_A \left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right) V_C$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}} = V_C \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Dunque, il lavoro $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}}$ nella seconda fase della terza corsa è:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}} = p_A \cancel{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)} V_C \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\cancel{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)}} \ln{\frac{\cancel{V_C} \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)}}{\cancel{V_C}}$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}} = p_A V_C \left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)}$

Immagine

Il lavoro totale $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa}}$ svolto dalla terza corsa della pompa piccola è dato dalla somma dei contributi di lavoro effettuati durante le due fasi della corsa:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa}} = \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (1)}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa \ (2)}}$ $\Rightarrow \$
$\Rightarrow \$ $\boxed{\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa}} = p_A \left[V_P \ln\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)} \right]}$ .

Quarta corsa ( $n = 4$ )

$(1)$ Nella prima fase della quarta corsa, il gas, da una pressione iniziale $p_A$ pari a quella atmosferica, viene compresso fino a quando la sua pressione non corrisponde a quella presente nel serbatoio alla fine della terza corsa, cioè $p_3 = p \ (n=3) = p_A \left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)$ . Alla fine di questa fase, il volume della pompa si è ridotto da un volume iniziale $V_P$ pari a quello della canna della pompa piccola, a un volume $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (1)}} < V_P$ pari a, per la legge dei gas perfetti:

$p_A V_P = p_A \left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right) \overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (1)}}$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (1)}} = V_P \frac{1}{\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Dunque, il lavoro per comprimere il gas nella fase $(1)$ della quarta corsa è dato da:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (1)}} = p_{A}V_P \ln\left(\frac{\cancel{V_P}}{\cancel{V_P} \frac{1}{\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right)}}\right)$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (1)}} = p_{A}V_P \ln\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right)$

Immagine

$(2)$ Nella seconda fase della quarta corsa, la pressione iniziale è $p_3 = p \ (n=3) = p_A \left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)$ , mentre la pressione finale è $p_4 = p \ (n=4) = p_A \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)$ . Il volume finale è pari al volume $V_C$ della camera d'aria, mentre quello iniziale $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}}$ , dalla legge dei gas ideali, è pari a:

$p_A \left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right) \overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}} = p_A \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) V_C$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{V_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}} = V_C \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Dunque, il lavoro $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}}$ nella seconda fase della quarta corsa è:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}} = p_A \cancel{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)} V_C \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\cancel{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)}} \ln{\frac{\cancel{V_C} \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)}}{\cancel{V_C}}$ $\Rightarrow \$ $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}} = p_A V_C \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)}$

Immagine

Il lavoro totale $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa}}$ svolto dalla quarta corsa della pompa piccola è dato dalla somma dei contributi di lavoro effettuati durante le due fasi della corsa:

$\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa}} = \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (1)}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa \ (2)}}$ $\Rightarrow \$
$\Rightarrow \$ $\boxed{\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa}} = p_A \left[V_P \ln\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)} \right]}$

Pertanto, il lavoro $L_{\text{piccola pompa}} = L_1$ effettuato dalle quattro corse della piccola pompa è dato dalla somma dei singoli contributi di lavoro svolti in ognuna delle quattro corse. Dunque:

$L_{\text{piccola pompa}} = L_1 = \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{prima corsa}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{seconda corsa}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{terza corsa}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quarta corsa}}$ $\Rightarrow \$ $L_{\text{piccola pompa}} = L_1 = p_{A}V_C \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + \ p_A \left[V_P \ln\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)} \right] + + \ p_A \left[V_P \ln\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)} \right] + \ p_A \left[V_P \ln\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)} \right]=$
$=p_A \left[V_C \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)} + V_C \left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)} + V_C \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)} + V_P \ln\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + V_P \ln\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right) + V_P \ln\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right) \right] =$
$=p_A\left[(V_C+V_P) \ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + (V_C + 2V_P) \ln \frac {\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)} + (V_C + 3 V_P) \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)} + (V_C + 4 V_P) \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)} + V_P \ln \left[\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right)\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right)\right]\right] =$
$=p_A\left[V_C \ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + V_C \ln \frac {\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)} + V_C \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)} + V_C \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)} + V_P \ln \left(1+\frac{V_P}{V_C}\right) + V_P \ln \frac {\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)^2}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)^2} + V_P \ln \frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)^3}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)^3} + V_P \ln \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)^4}{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)^4}+ V_P \ln \left[\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right)\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right)\right]\right] =$
$=p_A\left[V_C \ln\left[\cancel{\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)} \cancel{\frac {\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)}} \cancel{\frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)}} \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)}{\cancel{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)}}\right] + V_P \ln \left[\cancel{\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)}\cancel{\frac{\left(1 + 2 \frac{V_P}{V_C}\right)^2}{\left(1 + \frac{V_P}{V_C}\right)^2}} \cancel{\frac{\left(1 + 3 \frac{V_P}{V_C}\right)^3}{\left(1 + 2\frac{V_P}{V_C}\right)^3}} \frac{\left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)^4}{\cancel{\left(1 + 3\frac{V_P}{V_C}\right)^4}}\cancel{\left(1+\frac{V_P}{V_C}\right)}\cancel{\left(1+2\frac{V_P}{V_C}\right)}\cancel{\left(1+3\frac{V_P}{V_C}\right)}\right] \right] =$
$=p_A \left[V_C \ln \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) + V_P \ln \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)^4 \right]=$ $p_A \left[V_C \ln \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right) + 4 V_P \ln \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)\right] =$
$=p_A \left[(V_C + 4 V_P) \ln \left(1 + 4 \frac{V_P}{V_C}\right)\right]$ $\Rightarrow \$ $\boxed{L_{\text{piccola pompa}} = L_1 = p_{A}V_C \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)}$

Si passi ad esaminare, in secondo luogo, l'unica corsa della pompa grande.

Il volume della pompa, $\displaystyle V_P$ , è proporzionale alle dimensioni della pompa stessa, dunque la pompa grande, essendo quattro volte maggiore di quella piccola, possiede un volume quattro volte superiore a quello di quest'ultima. Sia $V_{\text{piccola pompa}} = V_P$ : allora, il volume della pompa grande sarà $V_{\text{grande pompa}} = 4 V_{\text{piccola pompa}} = 4 V_P$ .
La pressione all'interno della pompa e quella all'interno del serbatoio possiedono, inizialmente, lo stesso valore $p_A$ , pari alla pressione atmosferica. Il volume iniziale è dato dalla somma tra il volume $V_C$ del recipiente e il volume $V_{\text{grande pompa}} = 4 V_{\text{piccola pompa}} = 4 V_P$ della canna della pompa grande, dunque è pari a $V_C + 4 V_P$ ; il volume finale, invece, è pari al solo volume $V_C$ della camera. Dunque, il lavoro compiuto dall'unica corsa della pompa grande è pari a:

$L_{\text{grande pompa}} = (m_P + m_{C_{\text{iniziale}}}){RT}\ln{\frac{V_C+4V_P}{V_C}} = (m_P + m_{C_{\text{iniziale}}}){RT}\ln \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)$ .

Inoltre, dalla legge dei gas ideali:

$p_{A}(V_C+ 4V_P) = (m_P+m_{C_{\text{iniziale}}}) RT$ .

Dunque, il lavoro $L_{\text{grande pompa}} = L_2$ della pompa grande è dato da:

$L_{\text{grande pompa}} = L_2 = p_{A}(V_C+4V_P) \ln \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right) \Rightarrow \ \boxed{L_{\text{grande pompa}} = L_2 = p_{A}V_C \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)}$ .

Immagine

Come si può notare, si ha che $L_{\text{piccola pompa}} = L_1 = p_{A}V_C \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)$ e $L_{\text{grande pompa}} = L_2 = p_{A}V_C \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)\ln \left(1+4\frac{V_P}{V_C}\right)$ . Dunque, il lavoro totale compiuto dalle quattro corse della pompa piccola è uguale al lavoro compiuto da una corsa della pompa grande. Pertanto: $L_{\text{piccola pompa}} = L_1 = L_2 = L_{\text{grande pompa}}$ . In definitiva:

$\color{Red} \boxed{\color{Black} L_1 - L_2 = 0}$

Metodo 2 (grossomodo intuitivo, con qualche semplice calcolo)

Si descriva con precisione il sistema termodinamico in questione (cfr. Nota 3. su un significato più profondo del termine sistema). Si supponga che la pompa piccola e quella grande, inizialmente, presentino la manopola premuta fino in fondo. Pertanto, inizialmente non è presente aria all'interno delle pompe.
Si definisca dunque il sistema termodinamico come composto dall'aria inizialmente presente nel contenitore (a pressione atmosferica $p_A$ ) sommata alla quantità di aria inizialmente presente nell'atmosfera, che alla fine verrà pompata nel contenitore utilizzando quattro corse della pompa piccola o una corsa della pompa grande.
Tale sistema comincia in uno stato termodinamico iniziale $i$ , e termina in uno stato finale $f$ . Evidentemente, lo stato iniziale del sistema quando si applica la pompa piccola è lo stesso di quello che si ottiene impiegando la pompa grande. Si deve dunque confrontare lo stato finale del sistema dopo quattro corse della pompa piccola con lo stato finale del sistema dopo una corsa della pompa grande, avanzando le seguenti assunzioni:

$A)$ Il volume del recipiente, $\displaystyle V_C$ , è costante e non dipende dalle dimensioni della pompa o dal numero di corse. Dunque, $V_C = \text{cost}$ .

$B)$ Il volume della pompa, $\displaystyle V_P$ , è proporzionale alle dimensioni della pompa stessa, dunque la pompa grande, essendo quattro volte maggiore di quella piccola, possiede un volume quattro volte superiore a quello di quest'ultima. Sia $V_{\text{piccola pompa}} = V_P$ : allora, il volume della pompa grande sarà $V_{\text{grande pompa}} = 4 V_{\text{piccola pompa}} = 4 V_P$

$C)$ La pressione nel contenitore, $\displaystyle p_C$ , dipende dal numero di moli di gas nel contenitore, $\displaystyle m_C$ , e dalla temperatura del gas, $\displaystyle T$ , secondo la legge dei gas ideali: $\displaystyle p_C V_C = m_C R T \Rightarrow \ p_C = \frac{m_C RT}{V_C}$ .

$D)$ La temperatura $\displaystyle T$ del gas si assume costante e uguale alla temperatura atmosferica $\displaystyle T_A$ , poiché si stanno considerando processi isotermici reversibili. Dunque: $T = T_A$

$E)$ Il numero $\displaystyle m_C$ di moli di gas nel contenitore aumenta di $\displaystyle m_P$ dopo ogni corsa, poiché una mole di gas viene trasferita dalla pompa al contenitore in ogni corsa.

$F)$ Il numero $\displaystyle m_P$ di moli di gas nella pompa piccola dipende dalla pressione atmosferica $\displaystyle p_A$ e dal volume $\displaystyle V_P$ della pompa piccola, secondo la legge dei gas ideali: $\displaystyle p_A V_P = m_P R T \Rightarrow \ m_P = \frac{p_A V_P}{R T}$ .

Sulla base di tali fattori, si calcoli la pressione finale nel contenitore dopo quattro corse della pompa piccola come:

$\displaystyle \overbrace{p_{C}^{\ \text{piccola pompa}}}^{\text{quattro corse}} = p_{C}^{\ \text{piccola pompa}} \ (n = 4) = \frac{\overbrace{m_{C}}^{\text{quattro corse}} R T}{V_C} = \frac{(m_{C,i} + 4m_{P}^{\text{piccola pompa}}) R T}{V_C} =$
$= \frac{(m_{C,i} + 4\frac{p_A V_{P}}{R T}) R T}{V_C} = p_{C,i} + 4\frac{p_A V_{P}}{V_C}$ $\Rightarrow \ \displaystyle p_{C}^{\ \text{piccola pompa}} \ (n = 4) = p_{C,i} + 4\frac{p_A V_{P}}{V_C}$ ,

dove $\displaystyle m_{C,i}$ è il numero iniziale di moli nel contenitore, $\displaystyle m_{P}^{\text{piccola pompa}}$ è il numero di moli nella pompa piccola e $\displaystyle V_{P} = V_{\text{piccola pompa}}$ è il volume della pompa piccola.

Analogamente, è possibile calcolare la pressione finale nel contenitore dopo una corsa della pompa grande come:

$\displaystyle \overbrace{p_{C}^{\ \text{grande pompa}}}^{\text{una corsa}} = p_{C}^{\ \text{grande pompa}} \ (n = 1) = \frac{\overbrace{m_{C}}^{\text{una corsa}}R T}{V_C} = \frac{(m_{C,i} + m_{P}^{\text{grande pompa}}) R T}{V_C} =$
$= \frac{(m_{C,i} + \frac{p_A V_{\text{grande pompa}}}{R T}) R T}{V_C} = p_{C,i} + \frac{p_A V_{\text{grande pompa}}}{V_C}$ ,

dove $\displaystyle m_{P}^{\text{grande pompa}}$ è il numero di moli nella pompa grande e $\displaystyle V_{\text{grande pompa}}$ è il volume della pompa grande.
Poiché è noto, per l'assunzione $B)$ , che $\displaystyle V_{\text{grande pompa}} = 4 V_{\text{piccola pompa}} = 4 V_P$ , si può scrivere la precedente espressione come:

$p_{C}^{\ \text{grande pompa}} \ (n = 1) = p_{C,i} + \frac{p_A \times 4 V_{P}}{V_C}$ $\Rightarrow \$ $p_{C}^{\ \text{grande pompa}} \ (n = 1) = p_{C,i} + 4 \frac{p_A V_{P}}{V_C}$ .

Si può dunque concludere che:

$\displaystyle p_{C}^{\ \text{piccola pompa}} \ (n = 4) = p_{C,i} + 4\frac{p_A V_{P}}{V_C} = p_{C}^{\ \text{grande pompa}} \ (n = 1)$ $\Rightarrow \ \displaystyle p_{C}^{\ \text{piccola pompa}} \ (n = 4) = p_{C}^{\ \text{grande pompa}} \ (n = 1)$

L'uguaglianza delle due pressioni $p_{C}^{\ \text{piccola pompa}} \ (n = 4)$ e $p_{C}^{\ \text{grande pompa}} \ (n = 1)$ sancisce che con quattro corse della pompa piccola si aggiunge al serbatoio lo stesso numero di moli d'aria di una corsa della pompa grande. Supponendo, per le assunzioni $A)$ e $D)$ , che il volume $V_C$ del contenitore e la temperatura $T_A$ dell'aria rimangano costanti, il numero finale di moli d'aria, il volume finale dell'aria e la temperatura finale dell'aria saranno, dunque, gli stessi per entrambe le pompe. Poiché uno stato termodinamico è determinato dal numero di moli, dal volume e dalla temperatura, allora gli stati finali sono gli stessi per le due pompe.
In definitiva, perciò, si conclude che lo stato finale del sistema termodinamico in esame dopo quattro corse della pompa piccola è esattamente uguale a quello dopo una corsa della pompa grande.

Quanto esaminato implica che, per il sistema termodinamico in questione, entrambi i processi abbiano la medesima variazione $\Delta U = U_f - U_i$ di energia interna e la stessa variazione $\displaystyle \Delta S = S_f - S_i$ di entropia.
Per mettere in relazione la variazione $\Delta U$ di energia interna, il lavoro $L$ compiuto dal sistema sull'ambiente (o dall'ambiente sul sistema) e il calore $Q$ aggiunto al (o rimosso dal) sistema, mentre il sistema passa dallo stato iniziale a quello finale, si utilizzi la Prima Legge della Termodinamica, la quale afferma che:

$\displaystyle \Delta U = Q + L_{\text{sul gas}}$ ,

dove, in questo caso, $\displaystyle Q$ è il calore ceduto dal gas (sistema) all'ambiente esterno ( $Q < 0$ ), e $\displaystyle L_{\text{sul gas}}$ è il lavoro compiuto dal pistone sul gas-sistema ( $L > 0$ ).
Poiché $\displaystyle \Delta U$ è, come detto, la stessa per entrambi i processi, si può scrivere:

$\displaystyle \overbrace{Q_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quattro corse}} + \overbrace{L_{\text{piccola pompa, sul gas}}}^{\text{quattro corse}} = \overbrace{Q_{\text{grande pompa}}}^{\text{una corsa}} + \overbrace{L_{\text{grande pompa, sul gas}}}^{\text{una corsa}}$ ,

dove gli apici indicano il processo di quattro corse della pompa piccola e di una corsa della pompa grande.

Al fine di confrontare $L_1$ per le quattro corse della pompa piccola con $L_2$ per la corsa della pompa grande, appare fondamentale impiegare la relazione tra entropia e calore per un processo isotermico reversibile, la quale afferma che:

$\displaystyle Q = T \Delta S$ ,

dove $\displaystyle T$ è la temperatura costante del sistema e $\displaystyle \Delta S = S_f - S_i$ la variazione di entropia del sistema. Poiché $\displaystyle \Delta S$ è, come detto, la stessa per entrambi i processi, si può scrivere:

$\displaystyle \overbrace{Q_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quattro corse}} = T \Delta S = \overbrace{Q_{\text{grande pompa}}}^{\text{una corsa}} = Q$ .

Sostituendo ciò nell'equazione precedente, si ottiene:
$\displaystyle Q + \overbrace{L_{\text{piccola pompa, sul gas}}}^{\text{quattro corse}} = Q + \overbrace{L_{\text{grande pompa, sul gas}}}^{\text{una corsa}}$ .

Semplificando, si ottiene:

$\displaystyle \overbrace{L_{\text{piccola pompa, sul gas}}}^{\text{quattro corse}}= \overbrace{L_{\text{grande pompa, sul gas}}}^{\text{una corsa}}$ , dove $\overbrace{L_{\text{piccola pompa, sul gas}}}^{\text{quattro corse}} = L_1$ e $\overbrace{L_{\text{grande pompa, sul gas}}}^{\text{una corsa}} = L_2$ . Perciò:

$L_1 = L_2$ .

Dal momento che il processo reversibile consiste in una compressione isoterma sul sistema, i due contributi di lavoro $L_1$ e $L_2$ sono entrambi svolti dal pistone sul sistema del gas (aria), pertanto sono da considerare positivi. L'uguaglianza tra essi, comunque, garantisce l'elisione di eventuali segni negativi e risulta essere corrispondente alla configurazione fisica nel caso in cui $L_1$ e $L_2$ vengano compiuti dal gas sul pistone (con contributo negativo per entrambi). In conclusione:

$L_1 = L_2$ $\Rightarrow \$ $\color{Red} \boxed{\color{Black} L_1 - L_2 = 0}$

In sintesi. Poiché gli stati iniziali e finali dei due processi sono gli stessi, la variazione di entropia deve essere la stessa. Dal momento che tutto il trasferimento di calore avviene da un unico serbatoio a temperatura costante $T$ , il calore rimosso dal gas per ciascuno dei due processi reversibili deve essere lo stesso, pertanto il lavoro totale compiuto sul gas per ciascuno dei due processi deve essere lo stesso.

Metodo 3 (squisitamente intuitivo)

Poiché la pompa grande ha dimensioni quattro volte maggiori di quelle della pompa piccola, il volume della prima è quattro volte quello della seconda. Dunque, è possibile pensare l'aria iniziale presente all'interno della pompa grande come costituita da quattro "particelle" d'aria, ognuna delle quali possiede un volume iniziale pari a quello della pompa piccola.

Prima fase. L'operatore spinge la manopola della pompa grande fino a trasferire la prima particella d'aria nell'apposita camera. Le tre particelle d'aria rimaste all'interno della pompa grande si trovano ora ad una nuova pressione $p_1$ del contenitore. Pertanto, ogni particella rimanente è stata compressa dalla pressione atmosferica $p_A$ alla pressione $p_1$ (durante questa fase, perciò, viene compiuto lavoro su tutte e quattro le particelle d'aria e, nonostante le particelle n° 2, 3 e 4 non vengano trasferite all'interno del serbatoio in questa fase, viene comunque compiuto lavoro su di esse per comprimerne il volume). Il lavoro totale svolto finora corrisponde al lavoro svolto per trasferire la prima particella sommato al lavoro compiuto per comprimere le altre tre particelle.

Si noti che il lavoro compiuto solo sulla prima particella è uguale al lavoro compiuto dalla piccola pompa durante la sua prima corsa. Dunque, il lavoro totale svolto dalla pompa grande in questo preciso punto è maggiore del lavoro svolto durante la prima corsa della pompa piccola.

Seconda fase. L'operatore spinge ulteriormente la manopola della pompa grande fino a trasferire la seconda particella d'aria. La pressione del sistema aumenta da $p_1$ a $p_2$ . Il lavoro totale svolto in questa fase è uguale al lavoro svolto sulla seconda particella mentre veniva trasferita nel contenitore unito al lavoro effettuato sulle due particelle rimanenti per comprimerle in modo che la loro pressione aumenti a $p_2$ (analogamente a quanto avviene durante la prima fase, viene compiuto lavoro sulle particelle n° 2, 3 e 4 durante il trasferimento della sola seconda particella).

Si noti che il lavoro totale compiuto sulla seconda particella corrisponde al lavoro compiuto su di essa nella prima fase per portare la sua pressione da quella atmosferica $p_A$ a $p_1$ , più il lavoro compiuto su di essa quando è trasferito all'interno del serbatoio nella seconda fase. Pertanto, il lavoro totale sulla seconda particella corrisponde al lavoro svolto dalla piccola pompa durante la sua seconda corsa.

Terza fase. La terza particella sarà trasferita, con aumento della pressione del sistema da $p_2$ a $p_3$ , e il lavoro totale eseguito su quest'ultima corrisponderà al lavoro compiuto su di essa durante le fasi prima e seconda per comprimerla dalla pressione atmosferica $p_A$ a $p_2$ , più il lavoro svolto durante la terza fase per trasferirla nel contenitore (analogamente a prima e seconda fase, viene compiuto lavoro sulle particelle n° 3 e 4 durante il trasferimento della sola terza particella). Quindi, il lavoro totale compiuto sulla terza particella corrisponde al lavoro compiuto dalla terza corsa della piccola pompa.

Quarta fase. La quarta particella sarà trasferita, con aumento della pressione del sistema da $p_3$ a $p_4$ , e il lavoro totale eseguito su quest'ultima corrisponderà al lavoro compiuto su di essa durante le fasi prima, seconda e terza per comprimerla dalla pressione atmosferica $p_A$ alla pressione $p_3$ , più il lavoro svolto durante la quarta fase per trasferirla nel contenitore (viene compiuto lavoro solo sulla particella n°4 durante il suo trasferimento). Quindi, il lavoro totale compiuto sulla quarta particella corrisponde al lavoro compiuto dalla quarta corsa della piccola pompa.

In conclusione, dunque, è possibile osservare che il lavoro totale compiuto da una corsa della pompa grande è uguale alla somma del lavoro compiuto da ciascuna particella d'aria, che è uguale alla somma dei lavori compiuti da ciascuna delle quattro corse della pompa piccola. Perciò: $\overbrace{L_{\text{piccola pompa}}}^{\text{quattro corse}} = L_1 = L_2 = \overbrace{L_{\text{grande pompa}}}^{\text{una corsa}}$ .
Dunque: $\color{Red} \boxed{\color{Black} L_1 - L_2 = 0}$ .

Osservazione. Il lavoro svolto dal pistone della pompa sull'aria contenuta in quest'ultima non è uguale al lavoro compiuto dall'operatore che spinge il pistone, in quanto la pressione atmosferica esterna contribuisce a spingere il pistone verso l'interno. Dunque, la forza con cui l'operatore preme sulla manopola della pompa è inferiore a quella con cui l'aria all'interno della pompa spinge il pistone verso l'esterno. La persona esecutrice dei trasferimenti d'aria compie un lavoro minore sull'impugnatura della pompa rispetto a quello compiuto dal pistone sull'aria all'interno della pompa. Ciò, tuttavia, non influisce sul risultato finale: la richiesta del problema prevede il reperimento di una relazione tra il lavoro svolto da quattro compressioni della pompa piccola e quello compiuto da un'unica corsa della pompa grande, perciò il lavoro compiuto dall'operatore per la pompa piccola è uguale a quello compiuto dalla medesima persona per la pompa grande così come il lavoro effettuato dal pistone della pompa piccola è uguale a quello compiuto dal pistone della pompa grande.

Nota 1. Una delle fonti più accreditate di confusione è quella che attesta la necessità di considerare il lavoro negativo (in quanto compiuto dall'ambiente esterno sul sistema) quando si valuti una compressione; considerando il lavoro (compiuto dal pistone sul gas) positivo, si potrebbe superficialmente obiettare che la trasformazione in fieri sia costituita da un'espansione. Certamente, nel caso in cui si prema la manopola al fine di trasferire l'aria nel contenitore, l'aria che inizialmente si trova all'interno della pompa con un volume $V_P$ affluisce nel serbatoio con un volume $V_C > V_P$ . Dunque, il volume dell'aria si espande. Si è definito il sistema testé descritto, tuttavia, non come composto dall'aria inizialmente presente nella pompa, bensì come costituito dall'aria all'interno della pompa più l'aria all'interno del contenitore. Esso ha perciò un volume iniziale pari a $V_P + V_C$ e un volume finale $V_C$ . In definitiva, dunque, tale sistema è soggetto a compressione e la pressione del sistema aumenta. Ecco perché, in regime di compressione, il pistone compie un lavoro positivo sul sistema termodinamico prima definito.

Nota 2. La prima legge della termodinamica afferma che la variazione $\Delta U$ di energia interna di un sistema è uguale al trasferimento netto di calore $Q$ all'interno del sistema, più il lavoro netto $L$ compiuto sul sistema. In forma di equazione, essa si presenta come $\Delta U = Q + L$ , dove $\Delta U$ rappresenta la variazione di energia interna $U$ del sistema, $Q$ è il calore netto trasferito nel sistema, vale a dire la somma di tutti i trasferimenti di calore in entrata e in uscita dal sistema, e $L$ il lavoro netto compiuto sul sistema. Pertanto, un calore $Q$ e un lavoro $L$ positivi aggiungono energia al sistema: la forma $\Delta U = Q + L$ rivela semplicemente la possibilità di aumentare l'energia interna riscaldando un sistema o compiendo lavoro su esso.

Bisogna avanzare due considerazioni:
1) Se il calore viene assorbito dal gas, $Q$ si assume positivo ( $Q > 0$ ); se il calore viene rimosso dal gas, $Q$ si assume negativo ( $Q < 0$ ).
2) Poiché il pistone può muoversi, esso può compiere lavoro sul gas spostandosi verso il basso e comprimendo quest'ultimo: la collisione del pistone che si muove verso il basso con le molecole del gas fa sì che queste si muovano più velocemente, aumentando l'energia interna totale.
Se il gas viene compresso, il lavoro compiuto sul gas $L_{\text{sul gas}}$ si assume positivo. Al contrario, se il gas si espande e spinge il pistone verso l'alto, il lavoro è svolto dal gas. La collisione delle molecole di gas con il pistone in allontanamento favorisce il rallentamento delle molecole di gas e la conseguente diminuzione dell'energia interna del gas. Se il gas si espande, il lavoro compiuto sul gas $L_{\text{sul gas}}$ si assume negativo.

Effettuate tali premesse, è necessario notare come molto spesso la Prima Legge della Termodinamica venga presentata nella forma $\Delta U = Q - L$ equivalentemente all'espressione - summenzionata - $\Delta U = Q + L$ . Entrambe le equazioni sono corrette e forniscono la medesima informazione. La ragione della differenza formale è quella per cui, nella formula $\Delta U = Q + L_{\text {sul gas}}$ , si sta assumendo che $L$ rappresenti il lavoro compiuto sul sistema, mentre quando si utilizza $\Delta U = Q - L_{\text{dal gas}}$ , si sta assumendo che $L$ rappresenti il lavoro compiuto dal sistema. Le due diverse (solo formalmente) equazioni sono equivalenti, poiché $L_{\text{sul gas}}=- L_{\text{dal gas}}$ . Pertanto, quando si compie lavoro su un sistema, questo si aggiunge alla sua energia interna (da qui il segno più in $\Delta U=Q+L_{\text{sul gas}}$ ); quando un sistema compie lavoro, invece, quest'ultimo sottrae energia interna al sistema stesso (da qui il segno meno in $\Delta U=Q-L_{\text{dal gas}}$ ). Chiaramente, dunque, è una mera convenzione la possibilità che il simbolo $L$ nella Prima Legge sia positivo quando il sistema compie lavoro sull'ambiente circostante o, alternativamente, quando l'ambiente circostante compie lavoro sul sistema. Riguardo la prima convenzione, in cui $L$ rappresenta il lavoro compiuto dal sistema, la Prima Legge è $\Delta U = Q - L$ ; riguardo la seconda convenzione, in cui $L$ rappresenta il lavoro compiuto sul sistema, la Prima Legge è $\Delta U = Q+L$ . $L$ avrà un segno diverso per le due convenzioni, sulla cui scelta è permessa una certa libertà. Qualora si utilizzi la prima convenzione e si calcoli $L$ per una corsa della pompa, si otterrà un valore negativo per $L$ : ciò significa che l'aria all'interno della pompa ha compiuto un lavoro negativo sul pistone e, per la Terza Legge di Newton, il pistone ha effettuato un lavoro positivo sull'aria nella pompa. Qualora si utilizzi la seconda convenzione, $L$ si rivelerà un valore positivo: pertanto, l'aria ha compiuto un lavoro positivo sull'aria nella pompa, in accordo alla prima convenzione.
Nel caso in esame, poiché la temperatura $T$ rimane costante (la trasformazione è isoterma), si può affermare che la variazione di temperatura è nulla, cioè $\Delta T = 0$ . Dal momento che la variazione $\Delta U$ di energia dipende da quella $\Delta T$ di temperatura, essendo nulla la variazione di temperatura sarà altresì nulla quella di energia interna. Pertanto, $\Delta U = 0$ . Poiché si è assunto positivo il lavoro esercitato sul gas (sistema composto dall'aria) da parte del pistone, è preferibile utilizzare l'equazione $\Delta U = Q + L_{\text{sul gas}}$ per la Prima Legge della Termodinamica. Poiché $\Delta U = 0$ , si ha: $Q + L_{\text{sul gas}}= 0$ , dunque $Q = - L_{\text{sul gas}}$ . Con $L_{\text{sul gas}}$ positivo, $Q$ dev'essere negativo affinché sia soddisfatta la precedente relazione. Pertanto, il calore $Q$ viene rimosso dal gas e da questi ceduto all'ambiente. In definitiva:
$Q = - L_{\text{sul gas}}$ , con $Q = Q_{\text{ceduto}} < 0$ e $L_{\text{sul gas}} > 0$ .

Nota 3. A rigore, bisognerebbe interpretare il sistema iniziale in modo da includere le specifiche molecole d'aria presenti nell'atmosfera che alla fine verranno pompate nel contenitore dalle corse seconda, terza e quarta della piccola pompa: esse sarebbero inizialmente disperse nell'atmosfera e non avrebbero un volume ben definito, pertanto lo stato termodinamico di tale sistema è complesso e difficile da definire.
L'obiettivo richiesto dal testo, tuttavia, è confrontare il lavoro $L_1$ compiuto da quattro corse della pompa piccola con il lavoro $L_2$ svolto da una sola corsa della pompa grande. In questo caso, non sussiste alcun problema nell'identificazione del "sistema". Si supponga di impostare il sistema come mostrato di seguito:

Immagine

Alla camera d'aria sono collegate quattro piccole pompe, e il serbatoio e le quattro pompe sono inizialmente riempiti di aria a pressione atmosferica $p_A$ . Il sistema termodinamico in esame è costituito dall'aria nel contenitore e dall'aria nelle quattro pompe. Si tratta di un sistema ben definito: infatti, se la maniglia di ogni pompa viene spinta verso il basso, una dopo l'altra, il lavoro compiuto sul sistema è chiaramente uguale al lavoro $L_1$ richiesto dall'enunciato del problema. Si ricordi, inoltre, che - come spiegato nel testo del problema - le pompe sono dotate di una valvola che impedisce all'aria presente nel contenitore di affluire all'interno della pompa quando la pressione nel contenitore sia maggiore della pressione presente nella pompa.

Ora, si consideri nuovamente il sistema dall'inizio, collegando però le singole maniglie delle pompe al fine di ottenere un'unica maniglia, in modo che tutte e quattro le piccole pompe vengano compresse contemporaneamente quando la maniglia grande venga spinta verso il basso.

Immagine

Le quattro pompe agiscono adesso come un'unica pompa più grande di volume $4 V_P$ . Il lavoro compiuto da una singola corsa di tale pompa più grande è $L_2$ . Appare chiaro che in entrambe le raffigurazioni si stia descrivendo il medesimo sistema termodinamico.
Lo stato iniziale del sistema termodinamico in esame è dunque ben definito.

Messaggio da **Pigkappa** » 19 ott 2023, 0:49

Hai una pazienza incredibile nello scrivere tutti quei conti in LaTeX!

Bella la soluzione con l'entropia. Avevo cercato anche io di dimostrare che $\displaystyle \int dQ$ era uguale per i due metodi, ma non mi era venuto in mente di passare dall'entropia. Penso la soluzione sia giusta, anche se fa un po' strano identificare come "sistema" l'aria che alla fine sarà dentro la ruota. Una parte di questa aria all'inizio è all'esterno e non è davvero identificabile a priori quale particelle finiranno dentro, ed è mischiata a livello microscopico con altre particelle che non fanno parte del sistema. Comunque non credo che questo infici la validità della soluzione.

Sulla terza soluzione ci devo ancora pensare, se non mi torna riscrivo qua

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 19 ott 2023, 17:56

Pigkappa ha scritto: ↑
19 ott 2023, 0:49
Hai una pazienza incredibile nello scrivere tutti quei conti in LaTeX!

A dire il vero si tratta di un'attività a cui dedico volentieri i miei spazi temporali, ma questa volta, a causa di una terribile influenza con annessa febbre, ho fatto più fatica, impiegando un periodo molto più lungo

.

Pigkappa ha scritto: ↑
19 ott 2023, 0:49
anche se fa un po' strano identificare come "sistema" l'aria che alla fine sarà dentro la ruota. Una parte di questa aria all'inizio è all'esterno e non è davvero identificabile a priori quale particelle finiranno dentro, ed è mischiata a livello microscopico con altre particelle che non fanno parte del sistema.

La tua obiezione è corretta. A rigore, bisognerebbe interpretare il sistema iniziale in modo da includere le specifiche molecole d'aria presenti nell'atmosfera che alla fine verranno pompate nel contenitore dalle corse seconda, terza e quarta della piccola pompa: esse sarebbero inizialmente disperse nell'atmosfera e non avrebbero un volume ben definito, pertanto lo stato termodinamico di tale sistema è complesso e difficile da definire.
L'obiettivo richiesto dal testo, tuttavia, è confrontare il lavoro $L_1$ compiuto da quattro corse della pompa piccola con il lavoro $L_2$ svolto da una sola corsa della pompa grande. In questo caso, non sussiste alcun problema nell'identificazione del "sistema". Si supponga di impostare il sistema come mostrato di seguito:

Immagine

Alla camera d'aria sono collegate quattro piccole pompe, e il serbatoio e le quattro pompe sono inizialmente riempiti di aria a pressione atmosferica $p_A$ . Il sistema termodinamico in esame è costituito dall'aria nel contenitore e dall'aria nelle quattro pompe. Si tratta di un sistema ben definito: infatti, se la maniglia di ogni pompa viene spinta verso il basso, una dopo l'altra, il lavoro compiuto sul sistema è chiaramente uguale al lavoro $L_1$ richiesto dall'enunciato del problema. Si ricordi, inoltre, che - come spiegato nel testo del problema - le pompe sono dotate di una valvola che impedisce all'aria presente nel contenitore di affluire all'interno della pompa quando la pressione nel contenitore sia maggiore della pressione presente nella pompa.

Ora, si consideri nuovamente il sistema dall'inizio, collegando però le singole maniglie delle pompe al fine di ottenere un'unica maniglia, in modo che tutte e quattro le piccole pompe vengano compresse contemporaneamente quando la maniglia grande venga spinta verso il basso.

Immagine

Le quattro pompe agiscono adesso come un'unica pompa più grande di volume $4 V_P$ . Il lavoro compiuto da una singola corsa di tale pompa più grande è $L_2$ . Appare chiaro che in entrambe le raffigurazioni si stia descrivendo il medesimo sistema termodinamico.
Lo stato iniziale del sistema termodinamico in esame è dunque ben definito.

Poiché lo scopo delle Osservazioni e delle Note risiede nell'approfondimento, nel chiarimento e nello sviluppo di particolari aspetti o possibili teorie riguardanti i problemi, racchiudo in un'ulteriore Nota (Nota 3.) il testo poc'anzi presentato.

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