Tre molle e due masse

[Ippo]

Abbiamo un sistema unidimensionale così composto:
una molla di costante elastica e lunghezza a riposo fissata in con l'altro estremo agganciato ad una massa m che all'inizio si trova in ; un'altra molla identica fissata in con l'altro estremo agganciato ad una massa m che all'inizio si trova in ; un'ultima molla di costante elastica e lunghezza a riposo che ha entrambi gli estremi agganciati alle masse.
Ora spostamo la prima massa da a e la seconda da a , e lasciamo andare tutto nell'istante . Come si muovono le due masse? In particolare, quali sono le leggi orarie dei loro moti?

Usando quanto dimostrato, si trovino le leggi orarie del moto di due pendoli semplici identici le cui masse sono collegate da una molla (di costante k nota e lunghezza a riposo pari alla distanza tra i pendoli in equilibrio), quando uno dei due è inizialmente spostato di un tratto mentre l'altro parte dal suo punto di equilibrio. Si trascurino gli spostamenti verticali.

PS: non è del tutto elementare, ci vogliono un paio di nozioni di analisi

[spn]

Chiamo e gli spostamenti della prima e della seconda massa rispetto alle loro posizioni a riposo.
Sulla prima massa agiscono due forze, quella dovuta alla tensione della prima molla, e quella dovuta alla tensione della molla centrale. Percui la forza agente su di questo è:

La situazione è simmetrica per la seconda massa:

Si nota che ciascuna di queste due forze è data dalla differenza di due forze che, prese a parte, obbediscono alla legge di Hooke, e hanno una propria funzione di moto armonico nota.
Ora, intuitivamente mi verrebbe da dire che la funzione del moto armonico risultante sia proprio la differenza di queste funzioni, ma siccome non ne sono convinto, e per ora non ne trovo nessuna spiegazione, preferisco fermarmi qui .
Tutto ciò può essere giusto? C'è comunque un metodo migliore per farlo?

[pascal]

La somma e la differenza forniscono due equazioni di moto armonico con pulsazioni differenti, da cui ricavi e in funzione del tempo, delle fasi iniziali, delle ampiezze e delle pulsazioni. Da ciò puoi estrarre e . Con le condizioni iniziali sulle posizioni e sulle velocità ottieni le due soluzioni.

Le forze mi risultano col segno discorde!

[spn]

Le forze mi risultano col segno discorde!

Si, ho sbagliato a scrivere. Il fatto che la situazione è simmetrica comporta, in questo caso, che le forze siano discordi nel segno.

Per i pendoli direi che il moto armonico, solo orizzontale, di ognuna delle due masse può essere paragonato a quello che avrebbe se fosse attaccata ad una molla, di cui possiamo ricavare la costante elastica uguagliando i periodi:

dove è la lunghezza del pendolo. Ora la situazione è uguale a quella delle tre molle.

[pascal]

Concordo che il moto dei pendoli possa rientrare nella situazione precedente ponendo e .

[Ippo]

La somma e la differenza forniscono due equazioni di moto armonico con pulsazioni differenti, da cui ricavi e in funzione del tempo, delle fasi iniziali, delle ampiezze e delle pulsazioni. Da ciò puoi estrarre e . Con le condizioni iniziali sulle posizioni e sulle velocità ottieni le due soluzioni.

Esatto, l'ho pensato così.
@spn:
1. grande avatar XD
2. se scrivi la forza come massa per accelerazione, e l'accelerazione come derivata seconda della coordinata o , allora puoi sommare e sottrarre le equazioni come dice pascal in quanto la derivata è un operatore lineare (cioé, per quello che ci serve, la somma delle derivate è la derivata della somma). A quel punto segue il discorso di pascal.
3. Sui pendoli l'idea è esattamente quella che hai esposto. La legge oraria del pendolo inizialmente fermo mostra il modo in cui questo si mette gradualmente in moto aumentando l'ampiezza delle oscillazioni, per poi ridurla e "cedere" l'energia all'altro pendolo e via così. Il che è un fenomeno di risonanza molto carino, che avevamo visto anche al campeggio estivo di Sassoferrato l'anno scorso tra l'altro

[spn]

2. se scrivi la forza come massa per accelerazione, e l'accelerazione come derivata seconda della coordinata s_1 o s_2, allora puoi sommare e sottrarre le equazioni come dice pascal in quanto la derivata è un operatore lineare (cioé, per quello che ci serve, la somma delle derivate è la derivata della somma). A quel punto segue il discorso di pascal.

Chiaro.
Direi che il mio tentativo di cercare un metodo che non passasse per le derivate (che ho appena accennato a scuola) è fallito miseramente .

1. grande avatar XD

(''grande'' è la parola giusta ).

[Davide90]

Campeggio estivo di Sassoferrato l'anno scorso tra l'altro

[OT] Lo definirei piuttosto il leggendario campeggio estivo di Fisica di Genga Stazione!! Tanta roba.... [/OT]